Linjär avbildning på R2

Vad är fel? Ser inget fel på b).

På c) så kanske det hjälper om man inser att basen består av egenvektorer till S. Matrisen blir då alltid en disgonalmatris med egenvärdena som diagonalelement. Egenvärdena för en projektion är alltid 1 och 0.

På b) står det att kolonnrummet ör span{$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$} vilket jag nu inser är för att dom förmodligen har löst ut 1/5 och gaussat med en matris som har den utanför. 

Mhm, okej! Men om jag gör det, hur ska jag då få med basen $ℱ$ i det hela om jag istället försöker få ut egenvärden och egenvektorerna till S?

Det är samma span men det kanske är lite snyggare att skippa 5:an.

Jag antar att uppgiftskonstruktören tänkt att du med din kunskap om projektioner direkt skall inse att basens vektorer är egenvektorer och att matrisen i denna bas därför direkt kan skrivas ner utan eftertanke med kunskap om egenvärdena.

Annars får du väl använda ”brute force”. Sambandet mellan standardmatrisen A och matrisen relativt basen F (vi kan kalla denna matris B) ges mha basbytesmatriser enligt

B = P_E->FAP_F->E.

Där E betecknar standardbasen.

Så det är bara att ställa upp basbytesmatriserna och räkna på.

Men det var väll det jag försökte göra. Vektorerna i basen $ℱ$ antar jag därför är egenvektorer som bildar matrisen P. P har jag sen inverterat till P^-1, och matrisen A har jag valt att kalla S. Så jag misstänker att det är min matris S som inte ska stå där. Och då är frågan, ska det istället vara att $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$? Så att det blir $\mathcal{S}=PA{P}^{-1}$ istället för $\mathcal{S}=PS{P}^{-1}$ som jag har skrivit?

Nej, A är standardmatrisen till S, som du räknade ut i a).

P_F->E = $\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right]$. P_E->F = (P_F->E)^-1.

Du bör få svaret att B = $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$.

Mhm, okej! Så P = $\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right]$ och P^-1 = $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\\ -\frac{2}{5}& \frac{1}{5}\end{array}\right]$. Detta ger då $B=PS{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\\ \frac{2}{5}& \frac{4}{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\\ -\frac{2}{5}& \frac{1}{5}\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}\frac{9}{25}& -\frac{12}{25}\\ -\frac{12}{25}& \frac{16}{25}\end{array}\right]$. Så något blev helt galet här...

Du multiplicerar i fel ordning. Tänk på att ordningen spelar roll för matrismultiplikationer.

B = P^-1AP.

Ja juste. I matrismultiplikation finns det en viss ordning, till skillnad från vanlig multiplikation! 😅

Då blir det $B=P^{-1}SP=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\\ -\frac{2}{5}& \frac{1}{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\\ \frac{2}{5}& \frac{4}{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ vilket stämmer!

vilket leder till att i d) så är matrisen D=B och vårt P har vi ju redan tagit fram!

Tack för hjälpen! 😃