Linjär avbildning och spegling

Det är fråga om en sammansatt avbildning:

Först $\mathbf{y}=\mathsf{B}\mathbf{x}$, därefter speglingen: $\mathbf{z}=\mathsf{S}\mathbf{y}$, varav

$\mathbf{z}=\mathsf{S}\mathsf{B}\mathbf{x}$.

Du har räknat B korrekt, ange det som en matris (dina vektorer på kolonnform)

$\mathsf{B}=\begin{bmatrix} 0 & -3 & 2\\3 & 0 & 3\\-2 & -3 & 0\end{bmatrix}$.

Härnäst måste du bestämma speglingsmatrisen S. Använd projektion.

Till sist: Sökt matris $\mathsf{A}=\mathsf{S}\mathsf{B}$

Okej, är det följande projektion jag ska utföra för att få fram speglingsmatrisen?

S proj_n(e)=(e*n)/(∣∣n∣∣2)*(n)) , där n=[1,0,-1] 

och där e är basvektorerna $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ respektive $(0,0,1)$. Utför alltså denna projektion tre gånger, en gång för varje kolonn?

Men visst är det tre svar jag får fram inte spegligsmatrisen? Jag har för mig att man behöver ytterligare ett steg och får inte heller rätt svar om jag endast utför projektionen och sen beräknar A=SB

Nja lite omständligt, tycker jag. Vi tittar på följande principiella figur:

Spegling i planet (genom origo): x-z=0. Normalvektor $\mathbf{n}=\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix}$.

Antag att $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix}$. Projektion:

$\overline{RP}=(\mathbf{x}\bullet \mathbf{n})\mathbf{n}\cdot\dfrac{1}{2}$.

$\mathbf{y}=\overline{OQ}=\mathbf{x}-2\overline{RP}=\mathbf{x}-(\mathbf{x}\bullet \mathbf{n})\mathbf{n}$.

Kan du fortsätta själv?

Stort tack för bra information! Jag lyckades tillslut att lösa samt förstå hur spegling fungerar.

Men en fundering som jag fortfarande har är hur man vet att om de vektorer man tar fram är kolonner eller rader i matrisen? Ta till exempel i detta fall då de blev kolonner för matrisen B, beror det på att 1,0,0 är basvektorn för x och den första kolonnen i matrisen är x medan den andra är y osv?

Jag vet inte vilken lärobok ni använder, jag har undervisat Lay och är mest bekväm med den boken. Där  definieras vektorer som kolonnmatriser av typ $n\times 1$.

Exempelvis vår normalvektor $\mathbf{n}=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.

Matrisen till en linjär avbildning: Det finns en viktig sats som säger

Antag att $F:\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^m$ är en linjär avbildning.

Då existerar en entydig matris $\mathsf{A}$, så att

$F(\mathbf{x})=\mathsf{A}\mathbf{x}$ för alla $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$.

Matrisen $\mathsf{A}$ är en $m\times n$-matris vars j-te kolonn är vektorn $F(\mathbf{e}_j)$:

$\mathsf{A}=\begin{bmatrix} F(\mathbf{e}_1) & \ldots & F(\mathbf{e}_n)\end{bmatrix}$.

Okej då förstår jag betydligt bättre, tack så mycket för all din hjälp dr_lund!

Allt gott och träna nu ordentligt på dessa problemtyper!

dr_lund skrev:

Allt gott och träna nu ordentligt på dessa problemtyper!

Det ska jag absolut göra, redan direkt!

Må fint!