Linjär avbildning: Bestäm bilden av Vektorn

zneskarm skrev:

Låt T:R3→R3 vara en linjär avbildning sådan att:

Bilden av V1 = [-1, 2 -5] är [-4, -3, 0]

och bilden av V2 = [3, 4, -1] är [5, 1, 2]

 

Bestäm bilden T(V3) av vektoren V3 = [2, 6, -6]

 

Någon som har lust att hjälpa mig med denna?

 Kan v3 skrivas som en linjär kombination av v1 och v2? Vad säger det dig då?

Hej zneskarm och välkommen till PluggAkuten,

Vektorerna V1, V2 och V3 är linjärt beroende. Alltså kan V3 skrivas som en linjärkombination av V1 och V2 (och en ganska enkel sådan dessutom!)

Kan du hitta hur du ska kombinera vektorerna V1 och V2 för att få vektorn V3?

Utnyttja slutligen att en linjär avbildning är just linjär  T(x+y)=T(x)+T(y)

Jag antar att jag kan skriva koord för v1 och v2 som summan av dem och därmed fä ut linjärkombinationen, eller?

eller ska jag ställa upp dem i en matris och beräkna kryssprodukten?

isf 3 x 3 matris eller ska jag beräkna 2 x 2 och sedan multiplicera in med V3?

Menar du v3 = v1 + v2?

Ja, eller tänker jag fel?

Nej, v3 = v1+v2 är det centrala i lösningen. Om du vet detta om de avbildade vektorerna, vad vet du då om deras avbildningar?

Att v3 är en linjärkombination av v1 och v2 ?

Det är den. Titta på Guggles inlägg ovan.

Är det bilden av v1 och v2 som i kombination ska bilda v3?

Eftersom

$V3=V1+V2$

Så är den sökta T(V3) samma sak som

$T(V3)=T(V1+V2)=T(V1)+T(V2)=...$

Okej så det var inte mer komplicerat än så.. 

tack för hjälpen :)