Linjär avbildning

Men varför skulle det bli ett plan? Jag tolkar den första avbildningen som (låt $u=(x,y,z)$):

$\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\3 & 2 & 1 \\-1 & 5 & 3 \end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{ccc}x+y-z \\3x+2y+z \\-x+5y+3z \end{array}\right)$

Tack, ja det kanske är så enkelt? Det som förvirrar mig är dels att det är så enkelt, hade förväntat mig mer arbete, och dels språket; man skriver "avbilda på", men hur kan man egentligen tänka här? Om det är som du visar så kan man väl tolka den vänstra matrisens kolonner som vart basvektorerna hamnar varpå dessa multipliceras med u. Då kan man tänka att u avbildas "på" de transformerade basvektorerna.

Fast jag tycker inte det är tydligt, det är inte uppenbart för mig att x, y, z är samma som u. Det står att man ska avbilda u på något som innehåller x, y, z, och så fort jag väljer x, y, z får jag tre punkter. Då står det alltså att jag ska avbilda u på tre punkter.

Som sagt, jag tycker språket är förvirrande. 

Kan någon hänvisa mig till hur jag skriver matte här i forumet, jag testade samma som latex men det tycks inte fungera?

Allt som skrivs mellan $\$\$$ latex here $\$\$$ tolkas som Latexkod

En guide till Latex hittar du här En guide till latex på pluggakuten

Angående den semantiska tolkningen bör du kanske fråga den om skapat uppgiften om hur hen egentligen hade tänkt sig den första avbildningen. Dock ganska säker på att hen menar det som att du bara ska använda avbildningsmatrisen för parameterframställningen.

Och angående att det blir "för enkelt" tror jag säkert att rotationen ger dig något att bita i :)

Edit: om du verkligen vill bokstavstolka uppgiften står det alltså att man ska avbilda vektorn $\vec{u}$ på den vektorvärda funktionen $\vec{t}(x,y,z)=\vec{t}(\vec{r})=(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z))$ som är en omvändbar transformation av lägesvektorn.

Tack för klargörande svar. Matematik är så underbart pga sin exakthet!

Jag har gjort ett nytt försök, kan detta stämma?

Bestäm matrisen för den linjära avbildning $F$ i rummet som definieras av att $u$ först avbildas på 

$(x+y-z, 3x+2y+z, -x+5y+3z)$, och sedan vridas ett kvartsvarv kring linjen $x = 0, y = z$. (Denna rotations riktning definieras av att rotationen av vektorn $(1,0,0)$ har negativ komponent längs $z$-axeln.)\\

Vi behöver finna två matriser vars produkt ska bli $F$. Om $u=(x,y,z)$ så ska $u$  gånger en lämplig matris, $P$, bli $(x+y-z, 3x+2y+z, -x+5y+3z)$. Vi får att 

$Pu=\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\3 & 2 & 1 \\ -1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =(x+y-z, 3x+2y+z, -x+5y+3z).$

För att hitta den matris som roterar $u$ kring linjen $x = 0, y = z$ kan vi starta med att konstruera en ON-bas, $\textbf e'$, där en av basvektorerna pekar i samma riktning som $x = 0, y = z$ och har längd ett, $\overline{e_{1}}'=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1)$. En andra basvektor behöver vara ortogonal till den första, till exempel $\overline{e_{2}}'=(1,0,0)$. Den tredje basvektorn är då entydigt bestämd genom vektorprodukten $\overline{e_{1}}' \times \overline{e_{2}}'$

$\overline{e_{3}}'=\begin{vmatrix} 0 & 1 & \overline{e}_{1} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \overline{e}_{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \overline{e}_{3} \end{vmatrix}=$

$\overline{e}_{1}\begin{vmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}  & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \end{vmatrix} - \overline{e}_{2}\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \end{vmatrix}  + \overline{e}_{3}\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \end{vmatrix} = (0,\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$

Förhållandet till standardbasen $\textbf e$ är då $\textbf {e}'= \textbf e  Q$ där $Q=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}.$

I basen $\textbf e'$ är den sökta rotationen

$A'=  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \frac{\pi}{2} & -sin \frac{\pi}{2} \\ 0 & sin \frac{\pi}{2} & cos \frac{\pi}{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

men eftersom vi är intresserade av rotationen $A$ i basen $\textbf e$ kan vi med hjälp av sats 8.5 (Bøgvad och Vaderlind, 2017), som innebär att $A'=Q^{-1}AQ$, och sats 6.6 (Bøgvad och Vaderlind, 2017) som innebär att $Q$ är en ortogonal matris, lösa ut $A$ enligt 

$A=QA'Q^{-1}=QA'Q^t=$

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{1}{\sqrt{2}}  \\ 1& 0 & 0 \\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}=$

$\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{1}{\sqrt{2}}  \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}  \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2}  & \frac{1}{2} \end{bmatrix},$

vilket stämmer överens med att vektorn $(1,0,0)$ får negativ komponent längs z-axeln efter rotation med $A$: 

$\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{1}{\sqrt{2}}  \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}  \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2}  & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0   \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}  \end{bmatrix}.$

$F$ är då produkten av våra två funna matriser $A$ och $P$

$F=AP=\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{1}{\sqrt{2}}  \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}  \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2}  & \frac{1}{2}  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 5 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 \sqrt{2} & \frac{3\sqrt{2}}{2} & \sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{2}+2}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{7}{2} & -\frac{\sqrt{2}-4}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}-2}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{7}{2} & \frac{\sqrt{2}+4}{2} \end{bmatrix}.$

Ja, det ser bra ut och svaret är korrekt. Möjligtvis kan du vara lite mer noga med skillnaden mellan F och avbildningsmatrisen för F precis i slutet :)

Tack så mycket!!