Linjär avbildning

Relativt basen e1, .., e4 så definieras T:s matris A genom

T(ek)  =  $\sum _{j=1}^4$a_jkej, för k = 1, ..., 4.

Det betyder, om man tänker efter, att den k:te kolumnen hos A utgörs av komponenterna hos vektorn T(ek) relativt basen e1, ..., e4.

Så om du räknar ut T(ek) för k = 1, ..., 4 så kan du direkt få fram A genom att sätta dessa vektorers komponenter relativt standardbasen e1, ..., e4 som kolumner i A.

Du verkar dock ha skrivit av uppgiften fel eftersom du skrivit att

T(e1+e2) = (8, 0, 0)

T(e1+e2) = (0, 4, 0),

vilket ger motstridig information. Har du möjligen missat ett minustecken någonstans?

ja det blev lite fel ska vara,

T(e1+e2) = (8,0,0)

T(e1-e2) = (0,4,0)

T(e3+e4) = (0,0,8)

T(e3-2e4) = (8,8,4)

Om vi tittar på de två första ekvationerna så kan vi, med utnyttjande av att T är linjär, skriva det som

T(e1 ) + T(e2) = (8, 0, 0)    (1)

T(e1) - T(e2) = (0, 4, 0)      (2)

(1) + (2) ger 2T(e1) = (8, 4, 0) $\Rightarrow$ T(e1) = (4, 2, 0)

(1) - (2) ger 2T(e2) = (8, -4, 0) $\Rightarrow$ T(e2) = (4, -2, 0)

Det betyder att de två första kolumnerna i A ges av

$\left[\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right]$ och $\left[\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0\end{array}\right]$.

Sedan kan du räkna ut de två sista kolumnerna hos A på liknande sätt utifrån de två sista ekvationerna.

Säg till om du kör fast.

Såg en liten oklarhet i min definition av A som bör rättas till.

I definitionen bör vi ta hänsyn till att definitionsmängd och målmängd är olika vektorrum.

Om e1, ..., e4 är standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^4$ så låter vi s1, ..., s3 vara standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^3$.

Det uttryck som definierar A bör därför vara

T(ek) = $\sum _{j=1}^3$a_jksj, k = 1, ..., 4.

Så A:s k:te kolumn utgörs av komponenterna hos T(ek) i basen s1, ..., s3.

PATENTERAMERA skrev:

Såg en liten oklarhet i min definition av A som bör rättas till.

I definitionen bör vi ta hänsyn till att definitionsmängd och målmängd är olika vektorrum.

Om e1, ..., e4 är standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^4$ så låter vi s1, ..., s3 vara standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^3$.

Det uttryck som definierar A bör därför vara

T(ek) = $\sum _{j=1}^3$a_jksj, k = 1, ..., 4.

Så A:s k:te kolumn utgörs av komponenterna hos T(ek) i basen s1, ..., s3.

menar du att svaret skulle då vara 3,6,9 jag förstår inte hur jag kopplar in detta till matrisen. 

Förstår inte riktigt hur du kommer fram till 3, 6, 9 från det jag säger.

Du kan räkna fram vad A:s första kolumn är genom att räkna ut vilka komponenter som T(e1) har relativt standardbasen i ${\mathrm{ℝ}}^3$. På motsvarande sätt räknar du ut de andra kolumnerna i A. Jag visade hur man kunde räkna fram de två första kolumnerna i A. Du kan räkna ut de två sista kolumnerna på liknande sätt själv.

Alternativ kan du lösa följande matrisekvation

A$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cccc}8& 0& 0& 8\\ 0& 4& 0& 8\\ 0& 0& 8& 4\end{array}\right]$.

PATENTERAMERA skrev:

Förstår inte riktigt hur du kommer fram till 3, 6, 9 från det jag säger.

Du kan räkna fram vad A:s första kolumn är genom att räkna ut vilka komponenter som T(e1) har relativt standardbasen i ${\mathrm{ℝ}}^3$. På motsvarande sätt räknar du ut de andra kolumnerna i A. Jag visade hur man kunde räkna fram de två första kolumnerna i A. Du kan räkna ut de två sista kolumnerna på liknande sätt själv.

Alternativ kan du lösa följande matrisekvation

A$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cccc}8& 0& 0& 8\\ 0& 4& 0& 8\\ 0& 0& 8& 4\end{array}\right]$.

ju jag förstår hur jag kommer fram till 3,6,9 men förstår dock inte svaret. 
Jag räknade ut de andra två och får därmed 

T(e3+e4) = (0,0,8) = T(e3) + T(e4) = (3)

T(e3-e4) = (8,8,4) = T(e3) – T(e4) = (4)

(3)+ (4) ger 2T(e3) = (8,8,12) => T(e3) = (4,4,6)

(3) – (4) ger 2T(e4) = (8,8,-12) => T(e4) = (4,4,-6)

Tidigare skrev du T(e3-2e4) = (8, 8, 4). Vilket är korrekt?

PATENTERAMERA skrev:

Tidigare skrev du T(e3-2e4) = (8, 8, 4). Vilket är korrekt?

ja juste , då kan man nog kunna säga att 

(3) – (4) ger 2T(2e4) = (6,6,-10) => T(2e4) = (3,3,-5)?? eller ska man tänka annorlunda? förlåt om jag krånglar, men vill verkligen förstå. 

T(e3) + T(e4) = (0, 0, 8)        (3)

T(e3) - 2T(e4) = (8, 8, 4)      (4)

(3) - (4) $\Rightarrow$ 3T(e4) = (-8, -8, 4) $\Rightarrow$ T(e4) = (-8/3, -8/3, 4/3)

2(3) + (4) $\Rightarrow$ 3T(e3) = (8, 8, 20) $\Rightarrow$ T(e3) = (8/3, 8/3, 20/3)

Så fjärde och tredje kolumnen hos A blir 

$\left[\begin{array}{c}-\raisebox{1ex}{$8$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ -\raisebox{1ex}{$8$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$4$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\end{array}\right]$ och $\left[\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{$8$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$8$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$20$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\end{array}\right]$.