Linjär avbildning

Oj. Kan du redigera dollar-latexen? Det blev grötigt.

dr_lund skrev:

Oj. Kan du redigera dollar-latexen? Det blev grötigt.

Såg att det blev lite fel, ordnat nu.
Tack!

På koordinatform blir $\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$.

$F(\mathbf{e}_1)=\mathbf{e}_1+\mathbf{a}\times \mathbf{e}_1$, varav

$F(\mathbf{e}_1)=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ osv.

Stort tack för hjälpen, fick till det nu.

Om jag skriver på koordinatform direkt behöver väl jag inte skriva den längre uträkningen som jag skrev i mitt inlägg? 

OK, snyggt!

Eftersom vi har ett ON-system, tycker jag det är OK att jobba med koordinatvektorer.

Tack! Jag har öven fastnat på den andra uppgiften nu, att bestämma den entydiga vektorn v, några tips på hur jag kan börja med den? Testade att göra som tidigare fast med vektorn (3,12,9) men fick endast en ny matris.

Hittade en förklaring som sa Sätt för den sista frågan y = (3,12,9)^t och lös ut x ur systemet Ax = y. Då kommer x att vara koordinatvektorn för den sökta vektorn v. Detta då Ax = y är ekvivalent med F(v)=u, men förstår inte hur formeln Ax=y ska användas i detta sammanhang.

Den matris för avbildningen F du tagit fram är matrisrepresentationen av sambandet $\mathbf{u}=F(\mathbf{v})$, dvs

$\mathbf{u}=A\mathbf{v}$

Om A är inverterbar kan vi multiplicera med inversen på båda sidor och erhålla

$\mathbf{v}=A^{-1}\mathbf{u}$

Vektorn $\mathbf{v}\in V$ är entydigt bestämd om och endast om $\mathrm{det}A\neq0$, man säger att V och värderummet till F är isomorfa. 

Ett annat sätt att se på saken är $\mathrm{dim}\, V(F)=\mathrm{dim}\, V=\mathrm{rank}(A)$

Jroth skrev:

Den matris för avbildningen F du tagit fram är matrisrepresentationen av sambandet $\mathbf{u}=F(\mathbf{v})$, dvs

$\mathbf{u}=A\mathbf{v}$

Om A är inverterbar kan vi multiplicera med inversen på båda sidor och erhålla

$\mathbf{v}=A^{-1}\mathbf{u}$

Vektorn $\mathbf{v}\in V$ är entydigt bestämd om och endast om $\mathrm{det}A\neq0$, man säger att V och värderummet till F är isomorfa. 

Ett annat sätt att se på saken är $\mathrm{dim}\, V(F)=\mathrm{dim}\, V=\mathrm{rank}(A)$

Okej tack, den matris som jag fick fram är ( 1 1 -1 / -1 1 1 / 1 -1 1 ) om denna är skild från noll så är den entydigt bestämd.

För att då få fram den entydiga bestämda vektorn v ska jag alltså bryta ut v från (3,12,9)=( 1 1 -1 / -1 1 1 / 1 -1 1 )v, hur gör jag detta?
                                               

Precis som Jroth skriver:

Du måste invertera den tidigare framtagna 3x3-matrisen. Därefter bestämmer du matrisprodukten $\mathsf{A}^{-1}\mathbf{u}$.

Invertera alltså $\mathsf{A}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\1 & 1 & -1\\-1 & 1 & 1\end{bmatrix}$.

Det är determinanten av A som ska vara nollskild.

Inversen till matrisen A kan du antingen beräkna genom direkt invertering, eller genom att vända på sambanden som gav dig transformationen.

$A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Nu ger $\mathbf{v}=A^{-1}[3,12,9]^T=\frac{1}{2}[15,21,12]^T$

(det handlar alltså bara om att lösa ekvationssystemet $Av=u$ mha gausseliminering eller valfri metod du lärt dig)

Ytterligare ett sätt är att kolla om nollrummet till F endast innehåller nollvektorn, dvs N(F) = $\left\{0\right\}$. Om så är fallet är F inverterbar.

Vi har att

$||F\left(\mathit{u}\right)|| = ||\mathit{u}+\mathit{a}\mathbf{\times }\mathit{u}|| = \sqrt{{||\mathit{u}||}^2+{||\mathit{a}\times \mathit{u}||}^2} \ge ||\mathit{u}||$,

där den andra likheten följer av att $\mathit{u}$ och $\mathit{a}\mathbf{\times }\mathit{u}$är ortogonala (Pytagoras). 

Eftersom $||F\left(\mathit{u}\right)|| \ge ||\mathit{u}||$, så är $F\left(\mathit{u}\right) \ne 0$ närhelst  $\mathit{u} \ne 0.$ Så N(F) = {0} och F är inverterbar.

Mycket bra information, jag försöker nu att lösa uppgiften med hjälp utav dessa så att jag kan se alla steg. Men jag får determinanten till 0, och får inte heller samma A^-1  som Jroth, så försöker just nu att hitta vart jag gör fel någonstans.

Annars förstår jag stegen som ni förklarar!

Nja det stämmer inte. Jag fick nollskild determinant, det(A)=4. Kolla inverteringskalkylen en gång till. Jag använder oftast Gauss-Jordan på denna typ av problem.

dr_lund skrev:

Nja det stämmer inte. Jag fick nollskild determinant, det(A)=4. Kolla inverteringskalkylen en gång till. Jag använder oftast Gauss-Jordan på denna typ av problem.

Gjorde om denna och fick även jag det(A)=4, men får ännu inte till det när jag ska bestämma den entydiga vektorn. Ska titta på denna igen under kvällen eller morgondagen.

Edit, gav mig på denna igen och fick slutligen ett korrekt resultat, felet berodde på att matrisen var felaktig, uträkningen av F(e₁) , F(e₂) samt F(e₃) tar fram transponatet vilket jag inte hade räknat med. Tack för eran hjälp!