Linjär approximation

Hej.

"3145 a)
Bestäm en linjär approximation till $f (x) = \frac{2}{x} + x$ kring x = 1"

Först så förstod jag inte vad en linjär approximation är för något men tydligen så är det tangenten och om man stoppar in olika x värden i tangentens ekvation nära x punkten där den tangerar kurvan så kan man få ut närmevärde till funktionen. Är detta själva poängen med en linjär approximation eller missar jag något ytterligare?

"uppgift b) Bestäm felet om $f (1, 1)$ bestäms med hjälp av approximationen"

Eftersom att tangentens ekvation $y = - x + 4$ tydligen är den "linjära approximationen" så menar dom i uppgift b) att man ska ta hjälp av den ekvationen för att jämföra funktionsvärdet då man har x=1,1 Jag gjorde det och fick en skillnad på 0,018 eller 0,02

Fixade även fram dessa bilder för att förtydliga att jag förstår vad jag gör. Stämmer det?

Jag vill veta om hela poängen med Linjär approximation är om man skulle ha en jätte krånglig kurva så att man måste använda en tangent för att hitta ett närmevärde till det funktionsvärdet man vill åt egentliten?

Men i vissa fall så är det inte riktigt möjligt så man använder tangenten?

Har jag fel?

Har jag tolkat detta fel?

Är tacksam för svar. (detaljerade svar uppskattas)

Hakuna matata.

Bump

Så du har en funktion $f(x)=...$ och du vill titta runt $x=1$ . Så vi måste först se till att funktionen är deriverbar, vilket den är. (Det kan du nog se själv?)

Runt en punkt $(b,f(b))$ så kan du skriva lineariseringen på formen $y-f(b)=f'(b)(x-b)$ . Så vi vill nu hitta en linearisering $L(x)$ som är approximeras av att $L(x)\approx f(b)+f'(b)(x-b)$ . Detta kallas linearisering. (Om du har använt taylor-utveckling något så kan du se en viss likhet, tips från coachen).

Hej!

En linjär approximation till funktionen $f$ i en omgivning av $1$ är en linjär funktion ( $L$ ) som är sådan att om $x$ ligger i närheten av $1$ så är talet $L(x)$ nära talet $f(x).$

Om funktionen $f$ själv är linjär så kan man välja $L = f.$ Om funktionen $f$ inte är linjär så finns det flera funktioner att välja bland; tangenten till grafen $f$ vid $x=1$ är en av dessa linjära funktioner. Här är två saker som du kan fundera på:

Ger tangentens ekvation i $x=1$ den linjära funktion som ligger närmast grafen till funktionen $f$ i en omgivning av $x=1$ ?

Vad menas med "närmast" i detta sammanhang?

Albiki

Svara

Visa senaste svar