Linjär approximation

Enklast är nog att formulera tangentens ekvation på enpunktsform

y - y0 = k(x - x0),

där k = y'(x0) 

Dr. G skrev :

Enklast är nog att formulera tangentens ekvation på enpunktsform

y - y0 = k(x - x0),

där k = y'(x0) 

tog du y(0) som exempel nu för att visa enpunktsformen eller menar du att jag ska göra det? 

MattePapput skrev :

Dr. G skrev :

Enklast är nog att formulera tangentens ekvation på enpunktsform

y - y0 = k(x - x0),

där k = y'(x0) 

tog du y(0) som exempel nu för att visa enpunktsformen eller menar du att jag ska göra det? 

Det var bara en namngivning. I detta fall gäller att:

$(x_0,y_0) = (-1,y(-1))$

Tangentens ekvation lyder y = 2x + m. Detta samband mellan x och y gäller för alla punkter som ligger på tangenten.

Du känner till en punkt som ligger på tangenten, nämligen tangeringspunkten. Den har x-koordinaten -1. Dess y-koordinat kan du lätt få ut ur sambandet y = x^3 - x.

Sätt in koordinaterna för tangeringspunkten i sambandet y = 2x + m så får du enkelt fram ett värde på m.

Detta är ett standardsätt att ta fram ekvationen för en tangent.

------

För normalen gäller sedan att den är vinkelrät mot tangenten och att även den går genom tangeringspunkten.

Eftersom du redan har beräknat normalens k-värde kan du direkt hitta dess m-värde på samma sätt som du gjorde med tangenten.

Yngve skrev :

Tangentens ekvation lyder y = 2x + m. Detta samband mellan x och y gäller för alla punkter som ligger på tangenten.

Du känner till en punkt som ligger på tangenten, nämligen tangeringspumkten. Den har x-koordinaten -1. Dess y-koordinat kan du lätt få ut ur sambandet y = x^3 - x.

Sätt in koordinaterna för tangeringspunkten i sambandet y = 2x + m så får du enkelt fram ett värde på m.

------

För normalen gäller att den är vinkelrät mot tangenten och att även den går genom tangeringspunkten.

Du känner väl till sambandet mellan två vinkelräta linjers lutning (k-värden)?

Då kan du enkelt bestämma normalens k-värde och sedan dess m-värde på samma sätt som du gjirde med tangenten.

$$\begin{gathered} \mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{2} \\ \mathit{y}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \mathbf{0}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{m} \\ \mathit{m}\mathbf{=}\mathbf{2} \end{gathered}$$  Okej, det kan jag komma ihåg och förstå. 


Hmm, normalens k värde kan jag få fram k*(tangentK)=-1   Men ja alltså den tangerar också i punkten x = -1? Det gör den väl? Alltså ja den måste ju göra det ellerhur ? Visste ej att jag skulle få fram en ekvation till själva normalen också men nu vet jag det. 
Normal $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

Kan du förklara vad det är jag gör egentligen? Varför gör jag detta, vad är det jag försöker få fram?

tomast80 skrev :

MattePapput skrev :

Visa föregående citat

Dr. G skrev :

Enklast är nog att formulera tangentens ekvation på enpunktsform

y - y0 = k(x - x0),

där k = y'(x0) 

tog du y(0) som exempel nu för att visa enpunktsformen eller menar du att jag ska göra det? 

Det var bara en namngivning. I detta fall gäller att:

$(x_0,y_0) = (-1,y(-1))$

Redigrade, det blev fel. 

MattePapput skrev :

$$\begin{gathered} \mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{2} \\ \mathit{y}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \mathbf{0}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{m} \\ \mathit{m}\mathbf{=}\mathbf{2} \end{gathered}$$  Okej, det kan jag komma ihåg och förstå. 

Ja. Tangenten har alltså ekvationen y = 2x + 2

Hmm, normalens k värde kan jag få fram k*(tangentK)=-1   Men ja alltså den tangerar också i punkten x = -1? Det gör den väl? Alltså ja den måste ju göra det ellerhur ?

Nej den skär kurvan (vinkelrätt) i punkten (-1, 0)

Visste ej att jag skulle få fram en ekvation till själva normalen också men nu vet jag det. 
Normal $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

Ja det stämmer.

Kan du förklara vad det är jag gör egentligen? Varför gör jag detta, vad är det jag försöker få fram?

Du svarar på uppgiften, som ju löd så här:

Bestäm ekvationen för dels tangenten, dels normalen till kurvan
a) y=x3-x

Om det är rörigt så föreslår jag att du först skissar grafen till y = x^3 - x och sedan ritar in tangenten och normalen vid x = 1.

Lösning med enpunktsformeln.

Tangenten

$y - y_0 = k_t(x-x_0)$

$y-0 = 2(x-(-1))$

$y = 2x + 2$

Normalen

$y - y_0 = k_n(x-x_0)$

$y-0 = -\frac{1}{2} \cdot (x-(-1))$

$y = -\frac{1}{2} \cdot x -\frac{1}{2}$

Yngve skrev :

MattePapput skrev :

$$\begin{gathered} \mathit{k}\mathbf{=}\mathbf{2} \\ \mathit{y}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \mathbf{0}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{m} \\ \mathit{m}\mathbf{=}\mathbf{2} \end{gathered}$$  Okej, det kan jag komma ihåg och förstå. 

Ja. Tangenten har alltså ekvationen y = 2x + 2

Hmm, normalens k värde kan jag få fram k*(tangentK)=-1   Men ja alltså den tangerar också i punkten x = -1? Det gör den väl? Alltså ja den måste ju göra det ellerhur ?

Nej den skär kurvan (vinkelrätt) i punkten (-1, 0)

Visste ej att jag skulle få fram en ekvation till själva normalen också men nu vet jag det. 
Normal $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

Ja det stämmer.

Kan du förklara vad det är jag gör egentligen? Varför gör jag detta, vad är det jag försöker få fram?

Du svarar på uppgiften, som ju löd så här:

Bestäm ekvationen för dels tangenten, dels normalen till kurvan
a) y=x3-x

Om det är rörigt så föreslår jag att du först skissar grafen till y = x^3 - x och sedan ritar in tangenten och normalen vid x = 1.

Jag vet vad en tangent är och jag vet vad en normal är, jag vet också hur det ser ut grafiskt detta är väldigt uppenbart. Men jag vet inte vad jag gör? Varför skulle jag behöva veta hur jag får fram ekvationen till en normal eller en tangent? Va ska jag göra med detta? Är det verkligen allt jag gör? Lär mig att ta reda på ekvationen till en normal och en tangent? 

MattePapput skrev :

Jag vet vad en tangent är och jag vet vad en normal är, jag vet också hur det ser ut grafiskt detta är väldigt uppenbart.

Vad bra att dessa saker är uppenbara för dig.

Däremot är det inte uppenbart för mig vad du egentligen undrar nu. Jag försöker svara på dina frågor så gott jag kan.

Men jag vet inte vad jag gör?

Det har jag redan svarat på. Du tar fram ekvationen till en tangent och en normal.

Varför skulle jag behöva veta hur jag får fram ekvationen till en normal eller en tangent? Va ska jag göra med detta?

Detta är grundkunskaper som du kommer att behöva för framtida matematik- och fysikstudier, på samma sätt som du tidigare har lärt dig grundläggande algebra, funktionsbegreppet, trigonometri  och så vidare.

Är det verkligen allt jag gör? Lär mig att ta reda på ekvationen till en normal och en tangent? 

Ja.

Jag vet inte om det var svar på dina frågor, förtydliga gärna dem annars.

Yngve skrev :

Är det verkligen allt jag gör? Lär mig att ta reda på ekvationen till en normal och en tangent? 

Ja.

---

Jag vet inte om det var svar på dina frågor, förtydliga gärna dem annars.

Ditt sista svar på den sista frågan är tillräckligt. Sålänge jag förstår vad jag gör så kan jag nöja mig med det tills vidare. Tack Monsieur.