Linjär approximation

"Use a linear approximation to estimate $\sqrt[3]{1001}$ "

Har börjat med att sätta funktionen till f(x)= $\sqrt[3]{x + 1}$ och a=1

f'(x)= $1 / 3 \sqrt[2 / 3]{x + 1}$

L(x)= f'(a)(x-a) + f(a)

Då vi säkerligen inte kommer få använda miniräknare på sådana uppgifter på tentor har jag svårt att tro att det är så man ska göra, får ju väldigt svårt värde att beräkna utan miniräknare. Någon som kan hjälpa mig?

Derivatan ser lite fel ut.

Det kan vara bra att känna till att

(1 + x)^a är ungefär lika med (1 + a*x) för |x| << 1.

Tips, skriv först:

$\sqrt[3]{1001} = 10\sqrt[3]{1+\frac{1}{1000}}$

Du har att om

$f (x) = (1 + x)^{1 / 3}$

så är

$f' (x) = \frac{1}{3} (1 + x)^{- 2 / 3}$

Nu har du ju att

$f (x) \approx f (0) + f' (0) x$

för x nära noll, eftersom

$f (0) = 1, f' (0) = \frac{1}{3}$

så får man alltså att

$f (x) \approx 1 + \frac{x}{3}$

Nu har man att

$\sqrt[3]{1001} = \sqrt[3]{1000 + 1} = \sqrt[3]{1000} \sqrt[3]{1 + 1 / 1000} = 10 \cdot f (1 / 1000) \approx 10 (1 + 1 / 3000) = 10 + 1 / 300$

Använd sedan följande utveckling, vad är $\alpha$ ?

Svara

Visa senaste svar