Linjär algebra - Volymen av en tetraeder

Kryssprodukten när du räknar ut arean är felaktig. Det bör vara mellan vektorerna (3,1,3) och (3,3,1). Annars har du tänkt fel.

Ebola skrev:

Kryssprodukten när du räknar ut arean är felaktig. Det bör vara mellan vektorerna (3,1,3) och (3,3,1). Annars har du tänkt fel.

Aha okej. Men varför är det så?

Alltså, jag förklarade dåligt men tänk på att en längd på en vektor är pythagoras i tre dimensioner men du har tagit längden i kvadrat. Du har alltså:

$A_{bas} = \dfrac{\sqrt{88}}{2}$

Där du vet att $\sqrt{88}=2\sqrt{22}$.

Tänk också på att din höjd är fel, om du kollar vad du gjorde inom mitt inrutade nedan förstår du säkert:

Ett lättare sätt att räkna ut volymen är att kombinera det du försökte göra till en enda formel. Se nedan bild:

Du har volymen för en tetraeder som:

$V = \dfrac{1}{3}Bh = \dfrac{1}{6} \left\| a \times b \right\| \cdot h$

Höjden $h$ får du bekant som projektionen av vektorn $c$ på normalvektorn eller, geometriskt, så kan du beskriva den som:

$h = \left\| c \right\| \cdot \left|\cos\theta \right|$

Detta ger dig:

$V=\dfrac{1}{6} \left\| a \times b \right\| \cdot \left\| c \right\| \cdot \left|\cos\theta \right|$

Vilket är en enkel trippelprodukt som ger:

$V=\dfrac{1}{6} \left |(a \times b) \cdot c \right|$

Kom ihåg att trippelprodukten definieras som volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna $a$, $b$ och $c$. Vår tetraeder är en sjättedel av den parallellepipeden.

Ebola skrev:

Alltså, jag förklarade dåligt men tänk på att en längd på en vektor är pythagoras i tre dimensioner men du har tagit längden i kvadrat. Du har alltså:

$A_{bas} = \dfrac{\sqrt{88}}{2}$

Där du vet att $\sqrt{88}=2\sqrt{22}$.

Tänk också på att din höjd är fel, om du kollar vad du gjorde inom mitt inrutade nedan förstår du säkert:

Ett lättare sätt att räkna ut volymen är att kombinera det du försökte göra till en enda formel. Se nedan bild:

Du har volymen för en tetraeder som:

$V = \dfrac{1}{3}Bh = \dfrac{1}{6} \left\| a \times b \right\| \cdot h$

Höjden $h$ får du bekant som projektionen av vektorn $c$ på normalvektorn eller, geometriskt, så kan du beskriva den som:

$h = \left\| c \right\| \cdot \left|\cos\theta \right|$

Detta ger dig:

$V=\dfrac{1}{6} \left\| a \times b \right\| \cdot \left\| c \right\| \cdot \left|\cos\theta \right|$

Vilket är en enkel trippelprodukt som ger:

$V=\dfrac{1}{6} \left |(a \times b) \cdot c \right|$

Kom ihåg att trippelprodukten definieras som volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna $a$, $b$ och $c$. Vår tetraeder är en sjättedel av den parallellepipeden.

Jaaa tack! Ser nu att jag gjort slarviga beräkningsfel…