Linjär Algebra, visa att KerT = Ker(T*T)

Måste inte T vara kvadratisk för att T*T ska finnas? Eller är det inte så petigt med det?

Jag tänker att du har något T och något x, och Tx=0. Sen har du något y så att Ty inte blir 0. Vad händer om du tar svaret i varje och gångrar vidare? TTx och TTy, genom en matris i taget?

De två inklusionerna du ska visa är dessa:

• $\mathrm{Ker}(T)\subseteq\mathrm{Ker}(T^*T)$
• $\mathrm{Ker}(T^*T)\subseteq\mathrm{Ker}(T)$,

vilket kan formuleras om som två implikationer:

• $T\mathbf{x}=\mathbf{0}\Longrightarrow T^*T\mathbf{x}=\mathbf{0}$
• $T^*T\mathbf{x}=\mathbf{0}\Longrightarrow T\mathbf{x}=\mathbf{0}$.

En av de här implikationerna är enkel - ser du vilken? Den andra kan du använda ledtråden på...

Nu kanske jag missade din poäng. Men från det du skriver tänker jag såhär: Låt Tx = 0, då är T*Tx = T*(Tx) = T*0 = 0.

Kan det vara en start tror du?

Jag tänker dock att, visst, då är det för alla x sådana att Tx = 0 så är T*Tx = 0. Men borde det inte finnas till exempel ett y sådant att T*Ty = 0 utan att Ty = 0?

Edit: Postade innan jag såg ditt inlägg oggih, men okej då fattar jag. Gissar att den enkla implikationen är den jag gjort så ska se om jag löser andra nu med

Micimacko skrev:

Måste inte T vara kvadratisk för att T*T ska finnas? Eller är det inte så petigt med det?

Nja, $T^*T$ makear sense oavsett vilka dimensioner $T$ har. Om $T\in\mathbb{R}^{m\times n}$ så gäller $T^*\in\mathbb{R}^{n\times m}$, dvs. $T^*$ har lika många kolumner som $T$ har rader, vilket är precis vad som behöver för att de ska gå att multiplicera med varandra.

Ygolopot skrev:

Nu kanske jag missade din poäng. Men från det du skriver tänker jag såhär: Låt Tx = 0, då är T*Tx = T*(Tx) = T*0 = 0.

Kan det vara en start tror du?

Bra! Precis så enkelt är det att visa $\mathrm{Ker}(T)\subseteq\mathrm{Ker}(T^*T)$.

Jag tänker dock att, visst, då är det för alla x sådana att Tx = 0 så är T*Tx = 0. Men borde det inte finnas till exempel ett y sådant att T*Ty = 0 utan att Ty = 0?

Det är absolut en befogad misstanke, men nej, det finns faktiskt ingen sådan vektor $\mathbf{y}$, och det är det vi ska visa!

Idén är följande:

Anta att $T^*T\mathbf{x} = \mathbf{0}$.

Eftersom man alltid får 0 om man tar skalärprodukten med nollvektorn, så medför detta att $\langle T^*T\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle=0$.

Använd nu ledtråden! Vad kommer du fram till?

Ahaaaaa!!! Haha grymt ju. Tack snälla för hjälpen!

Vi har ju då att  vilket kräver $T\mathit{x}\mathbf{\hspace{0.17em}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}$ enligt skalärproduktsaxiomen. Och detta är en direkt konsekvens av T*Tx = 0. Så därför gäller även den implikationen.

Tack så jättemycket! :)

Ygolopot skrev:

Ahaaaaa!!! Haha grymt ju. Tack snälla för hjälpen!

Vi har ju då att  vilket kräver $T\mathit{x}\mathbf{\hspace{0.17em}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}$ enligt skalärproduktsaxiomen. Och detta är en direkt konsekvens av T*Tx = 0. Så därför gäller även den implikationen.

Snyggt jobbat! ^_^

Posta gärna mer linjär algebra! Inte för att jag kan svara då då (ibland kanske), men det är kul att läsa.

Hej,

• Om $x \in \text{Ker}(T^*T)$ så ger Ledningen att $||Tx||^2=0$ vilket medför att $Tx=0$, så $x \in \text{Ker}(T).$ Eftersom $x$ var godtyckligt vald har man visat inklusionen

    $\text{Ker}(T^*T) \subseteq \text{Ker}(T).$

• Om $x \in \text{Ker}(T)$ så är $Tx = 0$ och då följer det att $0=T^*(Tx)=(T^*T)x$, så $x \in \text{Ker}(T^*T).$ Eftersom $x$ var godtyckligt vald har man visat inklusionen $\text{Ker}(T) \subseteq \text{Ker}(T^*T).$

Qetsiyah skrev:

Posta gärna mer linjär algebra! Inte för att jag kan svara då då (ibland kanske), men det är kul att läsa.

Hehe det kommer garanterat fler frågor från mitt håll! ;)

Albiki: Snyggt, så kan man tänka såklart. Kanske är en bra utgångspunkt generellt för frågar av den karaktären att börja med att utgå från att x hör till nollrummet för att sen visa vad det leder till. Tack! :)

Treeeeeevligt, ska svara på de jag kan