Linjär algebra, vektorer, addition och kryssprodukt

Har inte löst uppg men tänker på att beloppet (u v) = ( bel u)(bel v) sin t där t är vinkeln mellan u och v. Som du noterat bildar de tre vektorerna en triangel i något plan, så de tre kryssprod har samma eller omvänd riktning. 
Kan det ge något?

oj precis vad du skrivit, sitter på bussen med mobil och såg uppenbarligen inte hela din text.

Din figur: går inte högraste vektorn tillbaka till fotpunkten av den vänstraste?

uxv – vxw = uxv – vx(–u–v) = uxv+vxu+vxv = 0

Eftersom uxv = –vxu och vxv = 0

Du kan kryssa u+v+w med u och se vad du får.

Det är inte korrekt att två vektorer måste ha motsatt riktning.

Du har i princip två alternativ.

Alla vektorer är parallella och har summa noll. Detta fall är trivialt, eftersom alla kryssprodukter då blir noll.

Vektorerna bildar en triangel om du lägger dem efter varandra, dvs de har vektorsumma noll, men är inte parallella.

Ett geometriskt bevis i detta fall är att visa att alla kryssprodukter har samma riktning och samma belopp. Ett tips är att visa att kryssprodukternas belopp är lika med 2 gånger triangelns area. Riktning bestäms med högerhandsregeln.

Om du vill göra ett algebraiskt bevis, titta på Lagunas tips.

Var inte mitt bevis enklast? 

Föruts. u+v+w = 0

Påst. uxv = vxw

Bevis. uxv – vxw = uxv – vx(–u–v) = uxv + vxu + vxv = (uxv – uxv) + 0 = 0+0

Övriga likheter bevisas på samma sätt. QED

Det finns såklart många sätt att visa sambandet. Om man känner till att kryssprodukten mellan två vektorer bildar arean av en parallellogram  kan man teckna den riktade arean av triangelytan på tre sätt, med (rätt tecken), vilka alla ska vara lika

$\frac{1}{2}\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\frac{1}{2}\mathbf{v}\times \mathbf{w}=\frac{1}{2}\mathbf{w}\times \mathbf{u}$

Mogens skrev:

Din figur: går inte högraste vektorn tillbaka till fotpunkten av den vänstraste?

det kanske den gör! Har inte riktigt  greppat sammanhanget för uppgiften hahah

PATENTERAMERA skrev:

Det är inte korrekt att två vektorer måste ha motsatt riktning.

Du har i princip två alternativ.

Alla vektorer är parallella och har summa noll. Detta fall är trivialt, eftersom alla kryssprodukter då blir noll.

Vektorerna bildar en triangel om du lägger dem efter varandra, dvs de har vektorsumma noll, men är inte parallella.

Ett geometriskt bevis i detta fall är att visa att alla kryssprodukter har samma riktning och samma belopp. Ett tips är att visa att kryssprodukternas belopp är lika med 2 gånger triangelns area. Riktning bestäms med högerhandsregeln.

Om du vill göra ett algebraiskt bevis, titta på Lagunas tips.

Jättemånga  bra råd, tack! Jag ska kika närmare på  det alla har skrivit och se om jag får rätsida på det.  Testar det laguna skrev och  återkommer

Daniels bevis gillar jag!

Luvan skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Det är inte korrekt att två vektorer måste ha motsatt riktning.

Du har i princip två alternativ.

Alla vektorer är parallella och har summa noll. Detta fall är trivialt, eftersom alla kryssprodukter då blir noll.

Vektorerna bildar en triangel om du lägger dem efter varandra, dvs de har vektorsumma noll, men är inte parallella.

Ett geometriskt bevis i detta fall är att visa att alla kryssprodukter har samma riktning och samma belopp. Ett tips är att visa att kryssprodukternas belopp är lika med 2 gånger triangelns area. Riktning bestäms med högerhandsregeln.

Om du vill göra ett algebraiskt bevis, titta på Lagunas tips.

Jättemånga  bra råd, tack! Jag ska kika närmare på  det alla har skrivit och se om jag får rätsida på det.  Testar det laguna skrev och  återkommer

Mogens skrev:

Var inte mitt bevis enklast? 

Föruts. u+v+w = 0

Påst. uxv = vxw

Bevis. uxv – vxw = uxv – vx(–u–v) = uxv + vxu + vxv = (uxv – uxv) + 0 = 0+0

Övriga likheter bevisas på samma sätt. QED

Jag tror detta är ungefär som facit gjorde. Förstår typ detta men inte helt :/

Jag har förstått följande:

iom att resultanten  (vektorsumman) är noll bildar vektorerna därmed en triangel. I annat fall hade en fjärde vektor bildats.

Då vektorsumman blir blir noll --> $u\times \left(u+v+w\right)=u\times 0=0$

Sen blir allt ett virrvarr. Jag  tror det där som @D4NIEL beskrev om att två  vektorer bildar arean av ett parallelogram kan vara ett spår jag kan förstå mig på.

PATENTERAMERA skrev:

Luvan skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Det är inte korrekt att två vektorer måste ha motsatt riktning.

Du har i princip två alternativ.

Alla vektorer är parallella och har summa noll. Detta fall är trivialt, eftersom alla kryssprodukter då blir noll.

Vektorerna bildar en triangel om du lägger dem efter varandra, dvs de har vektorsumma noll, men är inte parallella.

Ett geometriskt bevis i detta fall är att visa att alla kryssprodukter har samma riktning och samma belopp. Ett tips är att visa att kryssprodukternas belopp är lika med 2 gånger triangelns area. Riktning bestäms med högerhandsregeln.

Om du vill göra ett algebraiskt bevis, titta på Lagunas tips.

Jättemånga  bra råd, tack! Jag ska kika närmare på  det alla har skrivit och se om jag får rätsida på det.  Testar det laguna skrev och  återkommer

Visa spoiler

Nä det här var svårt  att förstå tyckte jag :(

Hur ser detta ut?

Det med triangeln är nog rätt, och klyftigt, men det behövs inte

Facitlösningen är lik min. Så här blir det led för led (det är lättare att gå bakåt:

0 = u+v+w = (u+v+w) x v = uxv + vxv + wxv

vxv är alltid noll eftersom längden av en kryssprodukt är längden av ena vektorn gånger längden av andra vektorn gånger sinus för vinkeln mellan dem. Vinkeln mellan två vektorer som är samma är förstås noll.

Kvar är 0 = uxv + wxv dvs

–wxv = uxv

Byter du ordningen på multiplikationen så byter kryssprodukten tecken dvs

+vxw = uxv

Osv

OBS!  Felet med triangellösningen – ser jag nu – är att arean är Absolutbeloppet (”längden”) av uxv.

Två vektorer kan ha samma längd utan att vara lika. Så den lösningen är ofullständig.

Mogens skrev:

OBS!  Felet med triangellösningen – ser jag nu – är att arean är Absolutbeloppet (”längden”) av uxv.

Två vektorer kan ha samma längd utan att vara lika. Så den lösningen är ofullständig.

Ska man jämföra areorna måste man räkna med riktningen och se ytan som ett vektoriellt ytelement. Vi ska självklart jämföra triangelytor som pekar åt samma håll. Kryssprodukten kommer alltid vara vinkelrät mot det plan i vilket triangelytan ligger och riktningen ges av högerregeln.

Om t.ex. $u\times v$ pekar uppåt kommer $v\times u$ peka nedåt. Notera riktningen på vektorerna samt tecknet på kryssprodukten nedan:

När man går runt i triangeln är det alltså viktigt att konsekvent jämföra areor som pekar åt samma håll. 

Mogens skrev:

Det med triangeln är nog rätt, och klyftigt, men det behövs inte

Facitlösningen är lik min. Så här blir det led för led (det är lättare att gå bakåt:

0 = u+v+w = (u+v+w) x v = uxv + vxv + wxv

vxv är alltid noll eftersom längden av en kryssprodukt är längden av ena vektorn gånger längden av andra vektorn gånger sinus för vinkeln mellan dem. Vinkeln mellan två vektorer som är samma är förstås noll.

Kvar är 0 = uxv + wxv dvs

–wxv = uxv

Byter du ordningen på multiplikationen så byter kryssprodukten tecken dvs

+vxw = uxv

Osv

inser att triangeln inte behövs, särskilt då jag tänkte fel nu (hehe), men var en spännande och tydlig beskrivning på det kände jag! Ska försöka spinna vidare på den. Men en fråga på det du skrev nu: jag hänger med på hur facit förklarade nu och kan själv härleda på det sättet. Du har däremot skrivit " u+v+w = (u+v+w) x v", hur kan detta stämma? Måste inte detta beskrivas separat? Typ:

0 = u+v+w

(u+v+w) x v = uxv + vxv + wxv= uxv + 0 + wxv = 0

uxv + wxv = 0 --> uxv = -wxv = vxw