Linjär algebra/vektoranalys: att visualisera dualbasen tillsammans med tangentbasen

Hej, en gång skrev Jroth såhär:

Tensorer av olika typ får INTE adderas eller idka umgänge på annat sätt än genom regler satta av rummets egenskaper (t.ex. bilda skalärprodukter genom metriken). Däremot får de multipliceras (och på det sättet bilda nya tensorer som lägger sig i helt nya rum). Undantag finns för specialfall. t.ex. affina tensorer.

Jag har i olika källor sett att man ritar ut dualbasen till den vanliga basen i samma bild men 90 grader mot den, det är väl helt knas? Det är inte ens samma vektorrum, som Jroth säger? Om en förvirrad person som jag ser bilden kommer de tro att en vektor i V kan skrivas med dualbasen med kontravarianta komponenter vilket är helt fel, för 1) det är ett annat vektorrum 2) komponenterna blir kovarianta, inte kontra. Eller?

Vill man betona det här med att $e^i(e_j)=e^i \cdot e_j=\delta^i_j$ ? Vektorerna kan alltså idka umgänge genom den inre produkten?

Tänk på Riesz. För varje $ε^{i}$ i den duala basen så finns det en unik ”vanlig” vektor ${\vec{e}}^{i}$ sådan att

$ε^{i} (\vec{x}) = {\vec{e}}^{i} ∙ \vec{x}$ , för alla $\vec{x}$ .

Ja... Åh du menar att basvektorn man ritar ut i V egentligen är $e^i$ :s representant i V?

Kolla här till exempel, röda och blåa basvektorer i samma bild https://solmaz.io/notes/duality-vector-spaces/

Vektorerna ${\vec{e}}^{i}$ kallas ibland den reciproka basen eller den kontravarianta basen. Notera dock att vektorerna ${\vec{e}}_{i}$ i sin tur är den reciproka basen till basen bestående av vektorerna ${\vec{e}}^{i}$ , så det är ett slags dualitetsförhållande.

Notera att den reciproka basen transformeras kontravariant vid ett basbyte.

I tre dimensioner är det enkelt.

${\vec{e}}^{1}$ = $\frac{{\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{3}}{{\vec{e}}_{1} ∙ ({\vec{e}}_{2} \times \vec{e_{3}})}$ osv.

Har kollat länken. Jo de vektorer som man ser i figuren kan man tolka som Riesz-vektorerna svarande mot den duala basen. Men det är kanske inte helt enkelt att inse det från texten.

I länken pratar man om ett vektorrum V, men i praktiken antar man att det är $ℝ^{n}$ det är frågan om, tex säger man att man ser vektorerna som kolumnvektorer.

Man säger sedan att man ser elementen i det duala rummet som radvektorer. I praktiken pratar man då, som jag förstår det, om en kovektors matris relativt standardbasen. Om vi har en kovektor $α$ så har den en standardmatris $[α]$ sådan att $α (\vec{x}) = [α] \vec{x}$ .

Om vi betecknar elementen i den duala basen som $ε^{i}$ , i = 1, 2, ..., n, så finns det, som du vet, motsvarande Riesz-vektorer ${\vec{e}}^{i}$ sådana att

$ε^{i} (\vec{x}) = {\vec{e}}^{i} ∙ \vec{x}$ .

I $ℝ^{n}$ så har vi vidare att ${\vec{e}}^{i} ∙ \vec{x} = {({\vec{e}}^{i})}^{T} \vec{x}$ , och därför så måste vi ha att $[ε^{i}] = {({\vec{e}}^{i})}^{T}$ .

Vi har vidare från definintionen av duala basen att

$ε^{i} ({\vec{e}}_{j}) = {({\vec{e}}^{i})}^{T} {\vec{e}}_{j} = δ_{j}^{i}$ , i, j = 1, 2,..., n.

Detta kan vi skriva på en matrisform som

$[\begin{matrix} {({\vec{e}}^{1})}^{T} \\ ⋮ \\ {({\vec{e}}^{n})}^{T} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} & \dots & {\vec{e}}_{n} \end{matrix}] = I (e n h e t s m a t r i s e n)$ .

Det betyder i sin tur att

$[\begin{matrix} {({\vec{e}}^{1})}^{T} \\ ⋮ \\ {({\vec{e}}^{n})}^{T} \end{matrix}] = {[\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} & \dots & {\vec{e}}_{n} \end{matrix}]}^{- 1}$ .

När du ritar in $[ε^{i}]$ i ett koordinatsytem, så som i länken, så kan man inte se skillnad på en radvektor och en kolumnvektor. Dvs $[ε^{i}]$ kommer att se ut precis som Riesz-vektorn ${\vec{e}}^{i}$ .

Ja just det exakt. Jag frågade ju denna fråga efter min fråga om Riesz, vet inte varför jag inte insåg det själv.

Det korta svaret är alltså att när dualvektorn ritas ut i samma bild, samma koordinatsystem, så är det egentligen den representerande vektorn från V (inte V*) som ritas ut. (Riesz sats försäkrar oss om att den alltid finns).

Svara

Visa senaste svar