Linjär Algebra (vektoraddition)

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/rakna-med-vektorer

Längden av en vektor är roten ur dess skalärprodukt med sig själv. Så om du räknar ut skalärprodukten (u+v, u+v) och sedan tar roten ur denna kommer du få längden.

att bara addera längderna skulle funka om de pekar åt samma håll. Men tänk dig att du har två vektorer som är lika långa, men pekar helt i motsatt riktning. Att addera dem ger noll-vektorn, som har längd 0. 

civilingengör skrev:

Hej! Jag har klurat på denna uppgift ett tag och får tyvärr inte rätt på det.

 

Givet att längden av vektorerna U och V är 3 respektive 2 och vinkeln mellan dem $\mathrm{\pi }/3$ finn längden av vektorn "U+V". Hur skall man tänka? (U och V är vektorer i $\mathrm{ℝ}$² så jag antar att formeln UV = $||U||·||V||$cos $\alpha$ skall användas). Varför kan de två längderna inte bara adderas vilket hade givit en längd av 5? Tacksam för svar.

Om du ritar upp de båda vektorerna och gör en vektoraddition som du lärde dig på gymnasiet, så kan du nog se varför inte längden av den sammansatta vektorn blir 5.

Jag är med på att längden av en vektor motsvarar roten av vektorn multiplicerad med sigsjälv, men hur får jag kvadraten av (u+v)?

Smaragdalena skrev:

civilingengör skrev:

Hej! Jag har klurat på denna uppgift ett tag och får tyvärr inte rätt på det.

 

Givet att längden av vektorerna U och V är 3 respektive 2 och vinkeln mellan dem $\mathrm{\pi }/3$ finn längden av vektorn "U+V". Hur skall man tänka? (U och V är vektorer i $\mathrm{ℝ}$² så jag antar att formeln UV = $||U||·||V||$cos $\alpha$ skall användas). Varför kan de två längderna inte bara adderas vilket hade givit en längd av 5? Tacksam för svar.

Om du ritar upp de båda vektorerna och gör en vektoraddition som du lärde dig på gymnasiet, så kan du nog se varför inte längden av den sammansatta vektorn blir 5.

Tack! Ja jag förstår nu varför man inte kan addera längderna på så vis. Jag kan dock fortfarande inte lösa uppgiften. Det känns som jag har missat något väldigt uppenbart.

Använd cosinussatsen.

Hej!

Som Hondel påpekade så gäller att $\lvert u+v\rvert=\sqrt{\langle u+v, u+v\rangle}=$...

Jag får med cosinussatsen $\sqrt{11}$, varför blir det fel? Jag förstår inte heller hur jag skall gå tillväga om jag istället ska använda den andra formeln som Moffen och Hondel rekommenderar. Hur får jag fram v respektive u isåfall?

$\sqrt{3*3+2*2-2*2*3*\cos (pi/3)}=\sqrt{9+4-2}$

civilingengör skrev:

Jag får med cosinussatsen $\sqrt{11}$, varför blir det fel? Jag förstår inte heller hur jag skall gå tillväga om jag istället ska använda den andra formeln som Moffen och Hondel rekommenderar. Hur får jag fram v respektive u isåfall?

 

$\sqrt{3*3+2*2-2*2*3*\cos (pi/3)}=\sqrt{9+4-2}$

Utveckla den inreprodukten som $\sqrt{\langle u+v, u+v\rangle}=\sqrt{\langle u, u\rangle + \langle v, v\rangle + 2\langle u,v\rangle}.$

Du verkar beräkna $2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=2$, men $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=0.5$, så $2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=6$.

Tack alla för hjälpen! Jag löste nu uppgiften med den metod som inte omfattar cosinussatsen. Men hur löser man det med cosinussatsen?  Svaret skall bli $\sqrt{19}$ vilket då inte stämmer då cosinussatsen omfattar en negation framför 6an som man får fram, medans denna 6a istället blir positiv i den andra metoden jag använde som i sin tur leder till ett korrekt svar. Vart faller mitt resonemang?

Det är troligen inte samma vinkel som du använder när du använder cosinussatsen som när du använder metoden med skalärprodukten. Rita figur.

Tillägg: 22 mar 2022 18:28

Tack så mycket!