Linjär algebra-vektor ekvationer

Börja med linjen 2x-3y=0. Ekvationen är uppfylls av sådana punkter (x, y), som gör vektor (x,y) ortogonal till (2, -3). Sådana vektorer är t.ex av formen t*(3, 2). Lika bra kan du skriva $t·(\frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}})$. Den andra formen är lite snyggare, då riktningsvektor är normerad. Ekvationerna beskriver linjer, som går genom origo. Alla parallella linjer till 2x-3y=0 är av formen t*(3, 2) + (a, b). Lägger du a= 1/2, b=0 får du din ursprungliga linje 2x-3y=1. Lägger du a=2, b=-1 får du en linje, som går genom P (när t=0). Notera dock att det finns oändligt många lösningar för (a, b). Ekvation t*(3, 2) + (5, 1) beskriver samma linje som 

t*(3, 2) + (2, -1). Fundera hur det kan bli innan du lämnar in din lösning.

Hej!

Det stämmer att parallella linjer har samma riktningsvektorer. 

En rät linje som går genom punkten $p = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ och har riktningsvektorn $v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$ har en ekvation som kan skrivas

    $\displaystyle u(t) = p + tv\ ,$

där parametern $t$ är ett tal och vektorn Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Hej!

Vektorn $u(t) = \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}$. Räta linjens ekvation säger att $x(t) = a + t v_{x}$ och att $y(t) = b + tv_{y}$. Det betyder att du kan uttrycka parametern $t$ som $t = (x(t)-a)/v_{x}$ och sätta in detta i uttrycket för $y(t)$ för att få

    $\displaystyle y(t) = b + (x(t)-a)\cdot \frac{v_{y}}{v_{x}}$.

Multiplicera detta med talet $v_{x}$ för att få ekvationen $v_{x}y(t) = (v_{x}b-v_{y}a) + v_{y}x(t)$, vilken är samma sak som ekvationen 

    $\displaystyle v_{y}x(t)-v_{x}y(t) = v_{y}a - v_{x}b$.

Albiki

Hej!

Jämför det allmänna uttrycket ovan med ekvationen $2x-3y = 1$ så ser du att $v_{y} = 2$ och $v_{x} = 3$, vilket ger riktningsvektorn $v = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$, som önskat.

Albiki

Tack båda!