Linjär algebra: vad betyder att den yttre algebran är "en algebra" (Matematik/Universitet)

Kanske inte svar på din fråga.

En algebra över en kropp är ett vektorrum tillsammans med en multiplikations-liknande operation.

Jag sysslade tidigare en del med Lie-algebror.

En liealgebra är, mycket kort, ett vektorrum V över någon kropp K tillsammans med en binär operation, kallad lie-parentes (lie bracket):

$[ \cdot , \cdot ] : V\times V \mapsto V$ .

Jag håller med dr_lund!

En algebra över en en kropp $\mathbb{F}$ kan sägas bestå av fyra bitar data:

en mängd $A$
en additionsoperation $+:A\times A\to A$
en skalningsoperation $.:\mathbb{F}\times A\to A$
en multipklikationoperation $\star:A\times A\to A$ ,

som tillsammans uppfyller kraven för att $(A,+,.)$ ska vara ett vektorrum över $\mathbb{F}$ , samtidigt som $\star$ ger upphov till en bilinjär avbildning $A\times A\to A$ , dvs. det gäller att

$(x+y)\star z=x\star z+y\star z$

$x\star (y+z)=x\star y+x\star z$

$(\alpha .x)\star (\beta .y)=\alpha\beta .(x\star y)$

för alla $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ och $x,y,z\in A$ .

Det prototypiska exemplet på en algebra är vektorrummet $\mathbb{F}^{n\times n}$ (med elementvis addition och skalning) utrustat med matrismultiplikation. (Detta är ett extra najs exempel eftersom multiplikationen kommer vara associativ, och eftersom det finns en multiplikativ identitet, nämligen identitetsmatrisen.)

Vi får en annan algebra om vi återigen utgår från vektorrummet $\mathbb{F}^{n\times n}$ men nu i stället låter "multiplikationen" vara matriskommutatorn $[.,.]\colon \mathbb{F}^{n\times n}\times \mathbb{F}^{n\times n}\to \mathbb{F}^{n\times n}$ definierad av $[X,Y]=XY-YX$ (som i någon mening "mäter" hur långt två matriser är ifrån att kommutera med varandra). Det är en nyttig övning att verifiera att $[.,.]$ är bilinjär, så att detta verkligen ger oss en algebra!

Sidenote: Notera också att kommutatorn inte kommer vara associativ (kan du hitta ett motexempel?). Den ger heller inte upphov till något multiplikativt identitetselement... Men den har andra trevliga egenskaper! Mer precist är det en Lie-algebra (det är därför jag använde samma hakparentes-notation som i dr_lund:s inlägg).

Det du frågar om är den yttre algebran $\mathrm{\Lambda}(V)$ för ett vektorrum $V$ . Jag vet inte exakt hur de konstruerade den i din bok, men väldigt löst uttryckt kan $\mathrm{\Lambda}(V)$ sägas vara mängden av alla linjärkombinationer av godtyckligt långa (men ändliga!) "ord" av vektorer på formen $v_1\wedge \cdots \wedge v_k$ för $v_1,\ldots,v_k\in V$ , där vi har identifierat element (på samma sätt som när vi diskuterade tensorprodukter) på ett sådant vis att

$\wedge$ -symbolerna "beter sig multilinjärt" (exempelvis vill vi att $v_1\wedge (v_2+v_2')\wedge v_3=v_1\wedge v_2\wedge v_3+v_1\wedge v_2'\wedge v_3$ ska gälla),
ett ord sätts lika med 0 om två identiska vektorer förekommer bredvid varandra.

Det är rätt enkelt att se att detta blir ett vektorrum under addition och skalning av de här linjärkombinationer. Och vi kan dessutom göra det till en algebra genom att införa en multiplikationsoperation $\wedge\colon \mathrm{\Lambda}(V)\times \mathrm{\Lambda}(V)\to \mathrm{\Lambda}(V)$ , som definieras genom "ihopsättning av ord". Mer precist kan vi sätta

$\wedge(v_1\wedge \cdots \wedge v_k,w_1\wedge \cdots \wedge w_\ell)=v_1\wedge \cdots \wedge v_k\wedge w_1\wedge \cdots \wedge w_\ell\,,$

och sedan utvidga bilinjärt (man måste så klart kolla så att detta ger en väldefinierad operation).

Qetsiyah skrev:
Är "⋀" en funktion som har ett helt vektorrum som argument? Eller är det en binär operation på två vektorer?

Det är lite som med $\otimes$ -symbolen! Som vi konstaterade i din tråd om tensorer så finns det flera användningsområden:

Den kan användas för att beteckna tensorprodukten av två vektorrum (då föredrar jag symbolen $\otimes_{\mathbb{F}}$ , där $\mathbb{F}$ är kroppen man jobbar över).
Den kan användas för att beteckna elementen som spänner upp tensorprodukten.
Dessutom används det för att beteckna multiplikationsoperationen i den så kallade tensoralgebran för ett vektorrum (som du kanske redan har stött på eller kommer att söta på; den är snäppet enklare att förstå än den yttre algebran!).

På motsvarande vis kan $\wedge$ både användas för beteckna den yttre algebran av ett vektorrum (då föredrar jag symbolen $\mathrm{\Lambda}$ ), för att beteckna elementen som spänner upp $\mathrm{\Lambda}(V)$ och för att beteckna multiplikationsoperationen i den yttre algebran $\mathrm{\Lambda}(V)$ .

Sidenote: Är $\mathrm{\Lambda}$ en funktion? Nja, "domänen" som består av alla vektorrum är för stor för att vara en mängd, så ska man vara mängdteoriskt renlärig borde man nog akta sig för att använda funktionsbegreppet här. Men eftersom du nämnde tidigare att du är nyfiken på kategoriteori, så kan jag meddela att vi har något mycket bättre än en sketen funktion här! Vi har i stället en så kallad funktor från kategorin $\mathrm{Vect}_{\mathbb{F}}$ av vektorrum över $\mathbb{F}$ till kategorin $\mathrm{Alg}_{\mathbb{F}}$ av algebror över $\mathbb{F}$ .

Det betyder inte bara att den tar varje vektorrum till en algebra, utan att den tar en linjär avbildning $\psi\colon V\to W$ mellan vektorrum till en algebrahomomorfi $\mathrm{\Psi}\colon \mathrm{\Lambda}(V)\to\mathrm{\Lambda}(W)$ (definierad genom att sätta $\mathrm{\Psi}(v_1\wedge \cdots\wedge v_k)=\psi(v_1)\wedge \cdots \wedge\psi(v_k)$ och utvdiga linjärt), på ett sådant sätt att identitetsavbildningen och sammansättning av avbildningar respekteras.

Exakt varför detta är viktigt är det kanske inte läge för att ta upp här och nu, men om du är nyfiken på funktorbegreppet kan du kanske titta på den här videon (som jag länkade i en annan tråd för ett tag sedan), där en av de mest klassiska exemplen på en funktor diskuteras, nämligen fundamentalgruppen som är en funktor från kategorin av topologiska rum (tekniskt sett: topologiska rum med utvalda punkter) och kategorin av grupper.

Jag förstår det första, "en algebra" är ett vektorrum med en operation (stjärnan). Mycket tydligt.

[X,Y]--->XY-YX

Multiplikaition med skalär: [aX,Y]=aXY-YaX=a[X,Y]=[X,aY]

Additiv: [X+Z,Y]=(X+Z)Y-Y(X+Z)=XY+ZY-YX-YZ=[X,Y]+[Z,Y] (låt säga att det är trivialt att den är additiv i andra argumentet)

Jag tyckte mig förstå när jag läste ditt inlägg för första gången, men nu känns tensorgrejerna inte färska längre... Jag ska fräsha upp det om det har likheter med detta. Jag har vandrat iväg från det, men tensorerna gnager fortfarande i hjärnan. Det verkar dock som att vektoranalysen jag pluggar för tillfället erbjuder ett annat angreppsätt, det är spännande.

Kategoriteori... Ja jag vet inte varför, men det känns som att det är väldigt vackert; den ultimata nivån av abstraktion (tillsammans med representationsteori typ). Men jag har andra grejer högre upp på min önskelista nu, det får bli senare.

(Det var lite kul, under mottagningen till teknisk fysik sades det att någon hade pluggat kateoriteori under sommaren. Jag blev helt till mig (nästan skrek), men jag vet inte hur jag ska hitta den personen bland alla 130 studenter. Jag tycker inte det är troligt att det var ett skämt, det är inte alla matte-o-intresserade som vet vad det är, speciellt precis efter gymnasiet).

Videon kollade jag på när du först länkade till den, men den var inte så bra. Den var för mycket informell, jag klarar av mer formellt.

Angående populärmatematik tycker jag att det är synd att numberphile och andra kanaler på youtube bara har informella och lätttillgängliga matematikämnen. Jag kollar sällan de nu. Det är bara spelteori, kombinatorik, grafteori, sannolikhet, en skvätt topologi och komplex analys och geometri. Saker med låg abstrationsnivå. Jag hade hellre sett längre, mer tekniska videos där en djupare insikt och en ordentlig "aha!" uppnås, helst i analys eller algebra.

En artikel som du länkade är populärmatematisk, men håller ändå innehållsmässig nivå: den gillade jag mycket. https://jeremykun.com/2014/01/17/how-to-conquer-tensorphobia/

På samma sätt tycker jag att Handbook of linear algebra av Leslie Hogben är vetenskapligt populärvenskaplig; inte för enkel.

Qetsiyah skrev:
Multiplikaition med skalär: [aX,Y]=aXY-YaX=a[X,Y]=[X,aY]
Additiv: [X+Z,Y]=(X+Z)Y-Y(X+Z)=XY+ZY-YX-YZ=[X,Y]+[Z,Y] (låt säga att det är trivialt att den är additiv i andra argumentet)

Bra jobbat! ^_^

Jag tyckte mig förstå när jag läste ditt inlägg för första gången, men nu känns tensorgrejerna inte färska längre... Jag ska fräsha upp det om det har likheter med detta. Jag har vandrat iväg från det, men tensorerna gnager fortfarande i hjärnan. Det verkar dock som att vektoranalysen jag pluggar för tillfället erbjuder ett annat angreppsätt, det är spännande.

Skriv gärna något i tensortråden om du får nya insikter! Tensorer och tensorprodukter kan man aldrig få för många perspektiv på.

Kategoriteori... Ja jag vet inte varför, men det känns som att det är väldigt vackert; den ultimata nivån av abstraktion (tillsammans med representationsteori typ). Men jag har andra grejer högre upp på min önskelista nu, det får bli senare.

Kategoriteori är fantastiskt, men det kan nog vara klokt att prioritera annan matematik först. Även om kategoriteori kan studeras ganska oberoende från annan matematik så gör det sig bäst när man har hunnit läsa lite mer algebra och topologi, eftersom det var i den kontexten som kategoriteori utvecklades från början.

(Det var lite kul, under mottagningen till teknisk fysik sades det att någon hade pluggat kateoriteori under sommaren. Jag blev helt till mig (nästan skrek), men jag vet inte hur jag ska hitta den personen bland alla 130 studenter. Jag tycker inte det är troligt att det var ett skämt, det är inte alla matte-o-intresserade som vet vad det är, speciellt precis efter gymnasiet).

Haha! Du får skriva något desperat i någon facebookgrupp, och se om du får napp! ;-)

Videon kollade jag på när du först länkade till den, men den var inte så bra. Den var för mycket informell, jag klarar av mer formellt. Angående populärmatematik tycker jag att det är synd att numberphile och andra kanaler på youtube bara har informella och lätttillgängliga matematikämnen. Jag kollar sällan de nu. Det är bara spelteori, kombinatorik, grafteori, sannolikhet, en skvätt topologi och komplex analys och geometri. Saker med låg abstrationsnivå. Jag hade hellre sett längre, mer tekniska videos där en djupare insikt och en ordentlig "aha!" uppnås, helst i analys eller algebra.
En artikel som du länkade är populärmatematisk, men håller ändå innehållsmässig nivå: den gillade jag mycket. https://jeremykun.com/2014/01/17/how-to-conquer-tensorphobia/

Tycker Numberphile gör ett ganska bra jobb med att blanda väldigt fascinerande och djup matematik med mer lättsamma ämnen, men visst, det är kanske inte min favoritkanal heller. Antar att du redan följer 3blue1brown? Tai-Danae Bradley som har gjort videon jag länkade har även en blogg - Math3ma - som ligger på lite mer avancerad nivå, där hon bland mycket annat har skrivit några små introduktioner till kateogoriteori. Är möjligt att du hittar något av intresse där, även om du nog behöver lite mer algebra och sånt under bältet för att helt uppskatta det hon gör. Jag kan även tipsa om podcasten My Favoritte Theorem, och (den numera inaktiva) bloggen Infinity Plus One.

oggih skrev:
Skriv gärna något i tensortråden om du får nya insikter! Tensorer och tensorprodukter kan man aldrig få för många perspektiv på.

Ja!

Haha! Du får skriva något desperat i någon facebookgrupp, och se om du får napp! ;-)

Jojo, jag gjorde det. Såhär gick det till: Två klasskamrater stod vid tavlan och försökte bevisa att något var supremum till nån delmängd av R, jag kunde inte hålla mig för deras bevis var alldeles för klumpigt, så då gick jag dit. Det visade sig att den ena kunde en hel del matte över den nivån jag förväntade (dessa analysgrejer var bara ofärskt), men mer åt icke-linjär algebra hållet. Vi komplementerade varandra väl och turades om att förklara grejer som vi hade lärt oss. Jag förklarade bland annat varför vektorrum av dimension n över F är isomorf med Fn, och vad dualrum är för nåt, och hur fourieranalys är relaterat till linjär algebra på ett fiffigt sätt. Jag sa att vi bara måste hitta kategoriteoripersonen, men då visade det sig att det var hans vän (som också går teknisk fysik!) som hade knappat in "jag har pluggat kategoriteori" i mottagningens enkät i hans mobil, två flugor i en stor lycklig osannolik smäll kan man säga!

Om du undrar vad som hände med den andra personen vid tavlan minns jag inte. Han gick, men vi märkte inte det, vår disskussion var alldeles för engagerad (och lite för svår, tror jag). Stackars honom, men jag bryr mig inte för det där var alldeles för kul.

Tycker Numberphile gör ett ganska bra jobb med att blanda väldigt fascinerande och djup matematik med mer lättsamma ämnen, men visst, det är kanske inte min favoritkanal heller. Antar att du redan följer 3blue1brown? Tai-Danae Bradley som har gjort videon jag länkade har även en blogg - Math3ma - som ligger på lite mer avancerad nivå, där hon bland mycket annat har skrivit några små introduktioner till kateogoriteori. Är möjligt att du hittar något av intresse där, även om du nog behöver lite mer algebra och sånt under bältet för att helt uppskatta det hon gör. Jag kan även tipsa om podcasten My Favoritte Theorem, och (den numera inaktiva) bloggen Infinity Plus One.

Ja... det kanske, bara kanske, i själva verket är så att jag bara inte gillar de ämnena numberphile har. Jag borde inte uttala mig om matematiken är djup eller inte, jag kollar inte ens.

3b1b är ok.

Men jag kollar Dr. Peyam mest just nu.

Folk som man klickar med både matematiskt och på ett mer personligt plan är alltid en fröjd att stöta på! ^_^