Linjär algebra, tetraeder.

Hur ska man tänka när det är en tetraeder, jag kan lösa uppgiften om det hade varit en vanlig triangel men detta gör mig lite förvirrad.

Uppgift 2.7

Jag har inget svar på direkten, men har för mig att medianerna i en triangel delar varandra i förhållandet 2:1. Vet inte om det underlättar.

Om du googlar tyngdpunkt tetraeder får du upp samma fråga på Pluggakuten den 4 sept 2021 med litet tips om hur man går till väga.

Eftersom $M$ delar $A A_{1}$ i förhållandet $3 : 1$ så måste följande gälla:

$\vec{O M} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{3}{4} \vec{O A_{1}}$

Du nämnde att du kunde lösa uppgiften om det varit en triangel.
Nu behöver du bara visa vad vektorn är till tyngdpunkten av triangeln $B C D$ är.

Men behöver jag inte veta vart A1 befinner sig på triangeln BCD?

Eller är det så att tyngdpunkten alltid är 2:1 av medianen på triangel BCD även fast att det är en tetraeder?

och anledningen till att du kan säga att $\vec{O M} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{3}{4} \vec{O A_{1}}$ är för att du sätter O precis vid A1?

Tyngdpunkten i en triangel delar alltid medianen i förhållandet $2 : 1$ .
Detta gäller oavsett om triangeln ingår i en tetraeder eller inte.

$O$ kan vara vilken punkt som helst.
Vektorn från $A$ till $A_{1}$ kan ändå alltid skrivas som:
$\vec{A A_{1}} = \vec{O A_{1}} - \vec{O A}$

Eftersom $M$ delar $A A_{1}$ i förhållandet $3 : 1$ får vi att:
$\vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A A_{1}} = \frac{3}{4} (\vec{O A} - \vec{O A_{1}})$

Det går nu lätt att se att:
$\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{A M} = \vec{O A} + \frac{3}{4} (\vec{O A_{1}} - \vec{O A}) = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{3}{4} \vec{O A_{1}}$

Tack för hjälpen! Jag förstår tänket nu och löste uppgiften 😊

Svara

Visa senaste svar