Linjär algebra, svår uppgift koordinatsystem och vektorer

En allmän ekvation för en linje genom origo torde vara på formen r = tv.

v kan uttryckas som en linjärkombination av basvektorerna. Vad är villkoret för att v skall vara vinkelrät mot e₁? Tänk skalärprodukt.

Jag bifogar en figur

Precis som tidigare kommentar skriver vi linjens riktningsvektor $\mathbf{v}$ som en linjärkombination av basen:

$\mathbf{v}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2$.

Kanske du kan fortsätta på egen hand.

Villkoret att v är ortogonal mot e₁ kan uttryckas 

v•e₁ = 0.

Vad säger det om x₁ och x₂?

Grejen är att skalärprodukt ej tillhör detta kapitel och vi har ej arbetat med det ännu.

Hmm Märkligt. Fråga: Behärskar du komposantuppdelning av en vektor?

Du kan kan använda trigonometri för att uppdela v i komposanter som är parallella med de givna basvektorerna.

Du kan även införa en alternativ bas där e2 ersätts med en enhetsvektor som är vinkelrät mot e1. Använd trigonometri för att uttrycka den nya basvektorn i den ursprungliga basen.

(Ursäkta för ful bild)

Jag vill veta hur stor e1 måste vara i relation med e2 för att e2-e1 alltid ska vara på V(rosa sträcket är hur stor varje e1 måste vara)

Med grundläggande trigonometri kan vi få att $\cos \left(\varphi \right)=\frac{\left(Rosa sträcket\right)}{e_2}$alltså $\left(Rosa sträcket\right)=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)*e_2=0.5*e_2$

Nu när vi vet hur stor e1 måste vara för varje e2 alltså vara kan vi ställa upp ett uttryck för $V=e_2·x-0.5x·e_1$

Svaret är lite förvirrande. Ser konstigt ut när du delar med vektorer. Hur går det till ? Tänk på att det är givet att basvektorerna är enhetsvektorer.

Det jag menar är att för varje vald längd av e2 måste e1 ha en viss längd för att e2-e1 ska vara på V, och som jag dåligt förklarar ska e1 vara hälfen så stor som e2 för att x*e1-x*0.5e2 ska vara på V.

Kallaskull skrev:

Det jag menar är att för varje vald längd av e2 måste e1 ha en viss längd för att e2-e1 ska vara på V, och som jag dåligt förklarar ska e1 vara hälfen så stor som e2 för att x*e1-x*0.5e2 ska vara på V.

Vi kan inte välja längderna på e1 och e2, de är givna i problemet och är båda lika med 1  - enhetsvektorer. Jag förstår hur du tänker, men du måste kunna förklara så att det går fram på ett mera begripligt sätt. 

Ett sätt att göra detta på skulle kunna vara att dela upp e₂ i en komposant a som är parallell med e₁ och en komposant b som är ortogonal mot e₁.

Trigonometri ger då att

a = cos(fi)e₁, dvs

e₂ = a + b = cos(fi)e₁ + b, vilket ger 

b = e₂ - cos(fi)e₁

Eftersom b är ortogonal mot e₁ så kan vi skriva

v = cb 

Linjens ekvation kan då skrivas

r = tcb

Här kan vi välja c godtyckligt (ej 0).

Tex kan vi sätta c = -2 (cos(fi) = 1/2), och erhåller

r = t(e₁ - 2e₂)