Linjär algebra största möjliga vinkel mellan två vektorer

Jag har inte försökt, men skulle prova att sätta de partiella derivatorna med avs på x1, x2 och x3 till noll. Vad som händer sedan vet jag inte. 

Nej, det verkar bara bli nollvektorn. Ingen nytta med det. Passar på denna. 

Men om du fixerar första vektorn till (0, 0, 1)?

Sorry, det funkar inte heller. Nej, ska jag ta fram Lagranges multiplikatormetod så måste jag ha papper och penna. Jag ger mig. 

Det finns naturligtvis många sätt att lösa den här uppgiften på, men eftersom du nämner kvadratiska former och linjär algebra väljer vi en metod som bygger på följande sats (och jag citerar fritt ur minnet):

Jullovssats 1.  Låt $A$ vara en reell symmetrisk matris med minsta egenvärde $\lambda_{min}$ och största egenvärde $\lambda_{max}$. Då är

$\lambda_{min}||x||^2\leq x^tAx\leq \lambda_{max}||x||^2$ för alla $x$,

och likhet fås omm $x$ är en egenvektor hörande till egenvärdet $\lambda_{min}$ rep. en egenvektor hörande till $\lambda_{max}$ (eller $x\equiv\mathbf{0}$)

Eftersom skalärprodukten $\langle u,v\rangle=\|u\|\,\|v\|\cos(\theta)=\cos(\theta)$ pga $\|u\|=\|v\|=1$ ska vi alltså finna minimum av  $f(x_1,x_2,x_3)=\langle u,v\rangle=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$ under villkoret $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$

Funktionen $f$ är en kvadratisk form med den matris du angav ovan. Om du bestämmer egenvärden till matrisen kan du sedan med hjälp av Jullovssats 1 bestämma största och minsta värde, tänk på att $\|x\|^2=1$

Prova att kvadrera x₁+x₂+x₃.

Vi hade en liknande fråga för en tid sedan.