Linjär Algebra - Spektralsatsen och Diagonalisering
Hej!
Jag funderar på ett specifikt steg i uppgiften nedan.
Uppgiften lyder (Tar en skärmbild då jag annars måste formatera frågan):
Här är min tankegång för att lösa uppgiften
1. Vi hittar egenvektorn för (Det är här jag funderar på om jag verkligen gjort rätt)
2. Använd formeln för att räkna ut F:s matris. P är matrisen bestående av egenvektorer och D är diagonalen av egenvärderna.
1. Vi vet (då avbildningen är symmetrisk) att egenrummet hörande till olika egenvärden är ortogonala mot varandra.
Det är här jag funderar lite. Kan jag verkligen ta vilken vektor som helst som är ortogonal mot de två som uppgiften gav mig?
Jag tittade på de två vektorerna och fann att vektorn (-1,0,1) är ortogonal mot de andra två. Kan man välja denna eller är det en specifik man måste hitta? Isåfall hur? (Facit gav vektorn (1,0,-1)). Om man skulle räkna ut egenvektorn ifrån den "riktiga matrisen" så skulle man ju fått alla linjär kombinationer av egenvektorn och då skulle ju faktiskt både min samt facits vektor tillhört egenrummet för egenvärdet 7?
2. Har inte kommit hit ännu, men min plan är att sätta P till (v1 v2 v3). Jag hittar inversen till P och sätter D till diagonalen. Räknar ut ekvationen ovan och får ut F:s matris. (v1 är den första vektorn i uppgiften, v2 den andra och v3 är den jag nyligen fann).
Tack på förhand!
Du kan ta vilken vektor som helst. Generellt gäller att om en vektor v är en egenvektor kommer även tv (där t är ett reellt tal) också vara en egenvektor med samma egenvärde. Så det är fritt fram att välja vilken vektor som helst som är ortogonal mot de andra, oavsett vilken du väljer kommer det vara en egenvektor med egenvärde 7.
Tillägg: 22 dec 2022 13:13
Ett tillägg: om jag inte minns fel är det väldigt enkelt att räkna ut en invers till en matris om kolumnerna är ortonormerade. Kan vara bra att tänka på när du konstruerar P
Hondel skrev:Du kan ta vilken vektor som helst. Generellt gäller att om en vektor v är en egenvektor kommer även tv (där t är ett reellt tal) också vara en egenvektor med samma egenvärde. Så det är fritt fram att välja vilken vektor som helst som är ortogonal mot de andra, oavsett vilken du väljer kommer det vara en egenvektor med egenvärde 7.
Tillägg: 22 dec 2022 13:13
Ett tillägg: om jag inte minns fel är det väldigt enkelt att räkna ut en invers till en matris om kolumnerna är ortonormerade. Kan vara bra att tänka på när du konstruerar P
Okej, toppen. Kan vara bra att hålla i åtanke!
Jo exakt, blev precis klar med uppgiften och använde som du påpekade :)
Tack för hjälpen, god jul!
