Linjär algebra. Spänner upp?

Vi har 4 vektorer i rummet. De är linjärt beroende men jag vill undersöka om de spänner upp rummet.

Då kontrolleras att systemet är lösbart för alla yn

$av_1 + bv_2 + cv_3 + dv_4 = \bar{y}$

Jag utför gausselimination. Vad ska jag få i raden längst ner för att förstå att den är lösbar för alla yn?

Ex.

$0 = y_1 + y_2$ eller

$x_3 = y_1 + y_2$

Vilken dimension har rummet? 4? 3? 2?

Sättet du skriver på implicerar att du vill kolla om dina vektorer spänner upp ett fyrdimensionellt vektorrum. Att spänna upp är som du noterat samma sak som att det ska gå att lösa ekvationen

av1+bv2+cv3+dv4=y för alla y.

För att detta ska vara möjligt ska du erhålla en trappstegsmatris eller en matris som kan göras om till en trappstegsmatris genom att byta ordning på raderna när du är klar med din gausselimination. Det är dock enklare att använda determinantkriteriet.

Alltså $|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{matrix}|$

Eftersom du först skriver att det är fyra linjärt beroende vektorer och sedan att du vill kolla om de spänner upp rummet så tolkar jag "rummet" som R3 eftersom fyra linjärt beroende vektorer inte kan spänna upp R4. För att spänna upp ett rum med dimension n behövs n antal linjärt oberoende vektorer.

För att lösa denna kan vi då kolla om vi har tre linjärt oberoende vektorer bland dessa fyra. Det gör man genom som du påbörjat, men man sätter y till 0. Du utför gausselimination, och på sista raden får du inte ha nollrad när du jobbat dig ner. Eftersom du har 4 vektorer i ett tre-dimensionellt rum kommer du (om vektorerna kan spänna upp rummet) få två nollor i sista raden.

Om man har bara tre vektorer i det tredimensionella rummet betyder ovanstående att man kommer få en trappa, exmepelvis:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix})$

När du nu har fyra vektorer kommer du (om de spänner upp rummet) få något sådan här:

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 8 & 9 \end{matrix}]$

Och för att få en matris som den första kan du i den andra helt enkelt plocka bort den sista kolonnen, vilket är som att ta bort den sista vektorn om du vill skapa en bas för rummet. Du behöver alltså bara 3 linjärt oberoende vektorer för att spänna upp 3 dimensioner

Hur tolks sista raden om vi har 8 och 9?

8x_1 + 9x_2 = y_3 är den här lösbar för alla yn?

Vad menar menas med att det ska vara lösbart för alla yn algebraiskt? Ska jag kunna sätta in vilken vektor y. med koordinaterna (y_1,y_2,y_3), som helst och kunna få ut värden på a,b,c,d?

sexlaxarienslaksax skrev :
Hur tolks sista raden om vi har 8 och 9?
8x_1 + 9x_2 = y_3 är den här lösbar för alla yn?
Vad menar menas med att det ska vara lösbart för alla yn algebraiskt? Ska jag kunna sätta in vilken vektor y. med koordinaterna (y_1,y_2,y_3), som helst och kunna få ut värden på a,b,c,d?

Det betyder att för varje y ska du få ut en och endast en uppsättning värden på a,b,c,d och att a=b=c=d= 0 endast om y är nollvektorn.

Svara

Visa senaste svar