Linjär algebra - spänna upp

Visa att kolonnerna i A ( $n \times p$ ) spänner upp $ℝ^{n}$ om och endast om systemet $A \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{y}$ har lösning för varje $\overset{⇀}{y} \in ℝ^{n}$ .

Om A är en (2 x 3)-matris och kolonnerna spänner upp ℝ2 ser jag framför mig att alla vektorer x i ℝ3 avbildas på ett plan ℝ2, vilket innebär att alla y i ℝ2 har en oändligt många lösningar. Om kolonnerna däremot bara spänner upp ℝ1 avbildas alla vektorer på en linje och det är enkelt att välja y som inte ingår i ℝ1. Hur kan jag uttrycka detta enklast?

Jag börjar tex med: A spänner upp Rn <=> rangA = n ..... men vet inte riktigt hur jag ska uttrycka mig.

Jag är inte riktigt med på ditt resonemang. Du kan nog inte säga "ett plan i ℝ2", eller, det skulle innebära hela ℝ2, eftersom ℝ2 är planet.

Men du är rätt ute i att man tar en vektor i ℝ3 och avbildar den på något i ℝ2. Så, om du har Ax=y betyder det att y ligger i värderummet för A. Vilket är värderummet? Om jag säger att Ax=y ska ha en lösning för alla y i ℝ2, vad säger det om värderummet till A?

Hondel skrev:
Jag är inte riktigt med på ditt resonemang. Du kan nog inte säga "ett plan i ℝ2", eller, det skulle innebära hela ℝ2, eftersom ℝ2 är planet.

Jag menade "ett plan i ℝ2", som i "planet ℝ2". Hade kanske kunnat uttrycka mig smidigare än så. Jag menade att jag visualiserar ℝ2 som ett plan och att alla vektorer i ℝ3 avbildas där.

Vilket är värderummet?

Jag tänker att värderummet är ℝ2 eftersom kolonnerna i A spänner upp ℝ2.

Om jag säger att Ax=y ska ha en lösning för alla y i ℝ2, vad säger det om värderummet till A?

Det säger mig också att värderummet är ℝ2, eller?

Så jag tänker att man kan skriva: kolonnerna i A spänner upp ℝn <=> värderummet är ℝn

och att: Ax=y har lösning för alla y i ℝn <=> värderummet är ℝn,

vilket ger oss: kolonnerna i A spänner upp ℝn <=> Ax=y har lösning för alla y i ℝn

Är det så du menar?

Edit: Mer generellt med n istället för 2

Svara