Linjär algebra: skalärprodukt men båda kolonnvektorer eller radvektorer

Hej

Jag förstår inte riktigt din fråga, har du lust att utveckla lite?

Det jag kommer att tänka på är att om du vill uttrycka skalärprodukten som en matrismultiplikation så måste det ju vara en rad*kolonn multiplikation. Om det är en kolonn*rad multiplikation får vi ju en ny större matris, och inte värdet av skalärprodukten. Det får vi ju av att (som nämnts i en tidigare tråd du gjorde tror jag?) skalärprodukten är en inre produkt i ${\mathrm{ℝ}}^n$, och en inre produkt kan uttryckas på formen $x^{T}Ax$ där x är en kolonnvektor (i skalärprodukts-fallet är ju A nxn identitetsmatrisen).  Då får vi ju faktiskt $x^{T}Ix=x^{T}x$, vilket är en rad*kolonn multiplikation.

Vi kan ju faktiskt se en radvektor som ett element i ${\mathrm{ℝ}}^{1\times n}$ och en kolonnvektor som ett element i ${\mathrm{ℝ}}^{n\times 1}$, men notera då att ${\mathrm{ℝ}}^{n\times 1}\simeq {\mathrm{ℝ}}^{1\times n}\simeq {\mathrm{ℝ}}^n$. Det kanske kan ge lite mer intuition varför vi kan ta skalärprodukten $·:{\mathrm{ℝ}}^n\times {\mathrm{ℝ}}^n\to \mathrm{ℝ}$ som $x·y=x_1{y}_1+...+x_n{y}_n$ och varför det då kan vara lika med $x^{T}y$.

Alltså spelar det inte riktigt någon roll i fallet då vi använder skalärprodukten jämfört med matrismultiplikationen om vi vill använda rad- eller kolonnvektorer. Någon annan som har bättre koll får gärna rätta mig om jag sa något knasigt. 

Är det där ett isomorfismtecken? Ska den inte ha två streck och en tilde?

Allt du sa makear sense, men jag läste precis en linalg bok som förklarar en liten smula annorlunda. Den säger att en radvektor inte är element i Rn (den måste vara kolonn), och att den istället är element i dualrummet som betecknas Rn*, och ja, det malear sense det också om vi ser radvektorer som operatorer till kroppen. Du gör skillnad på vektorrummen med Rnx1 och R1xn.

Om S är en mängd så brukar man beteckna mängden av funktioner från S till $\mathrm{ℝ}$ med ${\mathrm{ℝ}}^S$.

Med denna konvention kan man formellt definiera ${\mathrm{ℝ}}^n$, ${\mathrm{ℝ}}^{1\times n}$, ${\mathrm{ℝ}}^{n\times 1}$ enligt

${\mathrm{ℝ}}^n$ := ${\mathrm{ℝ}}^{\left\{1, 2, ..., n\right\}}$

${\mathrm{ℝ}}^{1\times n}$ := ${\mathrm{ℝ}}^{\left\{1\right\}\times \left\{1, 2, ..., n\right\}}$

${\mathrm{ℝ}}^{n\times 1}$ := ${\mathrm{ℝ}}^{\left\{1, 2, ..., n\right\}\times \left\{1\right\}}$.

Så helt olika vektorrum, men dock isomorfa.

Ofta brukar man dock representera element i ${\mathrm{ℝ}}^n$ med element i ${\mathrm{ℝ}}^{n\times 1}$ och element i (${\mathrm{ℝ}}^n$)^* med element i ${\mathrm{ℝ}}^{1\times n}$. Men det är bara en form av representation och inte en ”verklig” beskrivning.

Okej! Jag inser nu även att det här var en viktig pusselbit i att förstå tensorer också, det är kul