Linjär algebra - Singulärvärdesuppdelning

Hej, skulle behöva hjälp med en uppgift gällande SVD. Uppgiften är att bestämma en SVD till matrisen 

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$.

Såhär har jag tänkt.

SVDn fås genom $A=Y\Sigma X^T$, eftersom vi har en reell matris, där $Y$ är vänstersingulärvektorerna, $\Sigma$ är diagonal matris med singulärvärdena $\sigma$, $X$ är högersingulärvektorerna.

Jag väljer att börja med att ta fram vänstersingulärvektorerna genom $A{A}^T$ då vi får en 2x2 matris (enklare att arbeta med jämfört med om vi hade tagit $A^{T}A$).

Jag får att singulärvärdena blir $\{{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2\}$=$\{0,70\}$.

$ker({\sigma }^{2}I-A{A}^T)$ ger mig nu vänstersingulärvektorerna $\mathit{y}=\frac{1}{\sqrt{5}}\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]\}$

För att ta fram högersingulärvektorerna vill jag nu använda sambandet $\mathit{x}=\frac{1}{\sigma }{A}^T\mathit{y}$, men.. jag fastnar här då ett av singulärvärdena är 0 och jag kan inte dividera med 0. Jag är medveten om att jag kan ta fram högersingulärvektorerna på samma sätt som vänstersingulärvektorerna genom att kolla på $A^{T}A$ istället, men detta ger en 3x3 matris som är jobbig att ta fram egenvärden på (får ej använda räknare).

Eftersom A är 2x3 vet jag att X måste vara 3x3. Singulärvärdet $\sqrt{70}$ ger en singulärvektor, vilket innebär att singulärvärdet 0 ska ge två singulärvektorer.

Hur ska jag göra?