Linjär algebra, rotationsmatriser

Hej,

Jag undrar lite hur man tillämpar dessa. Kan absolut ingenting om linjär algebra utom lite svepande vad det innefattar ska tilläggas.

Men vi säger om man har en rektangel i ett koordinatsystem där sidorna är parallella med X och Y. Så vrider vi rektangeln exempelvis 30° med origo som rotationscentrum, koordinatsystemet vrids inte. Kan man då med hjälp av en s.k rotationsmatris "enkelt" hitta punkter på rektangeln utan trigonometri?

Om ja, går det att använda sig av dessa "enkelt" även om man inte läst kursen.

Tack :)

Rotationsmatrisen för en moturs rotation runt origo med vinkeln $\theta$ är

$R_\theta=\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix}.$

vilket betyder att en punkt $(x,y)$ på din geometriska form innan rotationen flyttas till en punkt $(x_\text{new},y_\text{new})$ efter rotationen som ges av

$\begin{pmatrix}x_\text{new}\\y_\text{new}\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\cos(\theta)-y\sin(\theta)\\x\sin(\theta)+y\cos(\theta)\end{pmatrix}.$

Om du läser en kurs i linjär algebra kommer du lära dig mer om hur man multiplicerar matriser med vektorer, men för tillfället kan du bara ignorera beräkningen jag gjorde här omvanför, och fokusera på slutresultatet.

Exempel: Om $\theta=30^\circ$ så kommer punkten $(x,y)=(2,1)$ att roteras till

$\begin{pmatrix}x_\text{new}\\y_\text{new}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos(30^\circ)-1\sin(30^\circ)\\ 2\sin(30^\circ)+1\cos(30^\circ)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{3} - 1/2\\(2 + \sqrt{3})/2\end{pmatrix}.$

Hej!

Tack så mycket för det. Väldigt användbart.

Svara