Linjär algebra, parameterform

civilingengör skrev:

Jag har antagit att en punkt A adderat med punkten P kommer ge vektorn U:(2,-1,2) [...]

Hur adderar du två punkter? Man kan addera punkter med vektorer för att hitta nya punkter.

I varje fall: om man vill göra på viset du förespråkar(jag vet inte om det funkar) så borde man säga att det finns en punkt A i planet sådan att om man rör sig längs med riktningsvektorn U som finns i planet kommer man att nå den kända punkten i planet P. Från detta kan man hitta en tredje punkt i planet.

Lösningen som jag förespråkar är att bilda en riktningsvektor mellan P och Q (kalla den V), ta kryssprodukten mellan denna och U, och från detta har du planets normal. Från detta kan man hitta normalformen och sedan bilda en parameterform.

...nu då jag tänker lite grann mer borde det väl gå att säga att vi känner till att vektorerna U och vektorn mellan P och Q (=V) finns i planet, varmed ett sätt att beskriva planet på är P+s*U+t*V, där s och t är skalärer.

Jag tror inte att min metod hade fungerat då vi faktist inte vet att vektorn U befinner sig i planet vi vill beskriva, den är endast parallell med planet? Med addera två punkter menar jag egentligen subtrahera (dvs skapa en ortsvektor).

Hursomhelst låter din metod vettigare. Jag har fått fram en normalekvation:

x - 4y - 3z + 7 = 0

Men hur omvandlar jag nu denna till parameterform? Jag har försökt hitta videos på detta men det verkar inte finnas.

En vektor har bara en längd och en riktning, den "finns" inte på någon särskild plats i koordinatsystemet utan kan placeras var som helst.

Vi kan alltså lägga åtminstone en del av vektorn U i planet. Om vi dessutom får veta att U är parallell med planet måste således hela U ligga i planet.

Det finns en annan sorts objekt som dessutom förutsätter en angreppspunkt, men det är inte matematiska vektorer.

Generellt gäller att du behöver två linjärt oberoende vektorer som båda är parallella med planet samt en punkt i planet för att beskriva planet på parameterform.

I normala fall  behöver du ha alltså ha tre punkter i planet vilket ger dig två vektorer parallella med planet. Uppgiften har redan givit dig två punkter och du kan hitta en tredje genom att t e.x. låta y=z=0 och lösa ut x ur din ekvation för planet.

Det finns oändligt många sätt att beskriva planet på parameterform. Du kan kontrollera din lösning genom att bilda kryssprodukten av dina vektorer, du ska då få en normal som är parallell med din redan beräknade normal (1,-4,-3).

D4NIEL skrev:

1) Vi kan alltså lägga åtminstone en del av vektorn U i planet. Om vi dessutom får veta att U är parallell med planet måste således hela U ligga i planet.

2) Du kan hitta en tredje genom att t e.x. låta y=z=0 och lösa ut x ur din ekvation för planet.

1) Men kan det inte vara så att U är mycket större än planet och således inte kan användas?

2) Hur gör man detta? Hur kan vi veta att koordinaterna y=0 och z=0 finns med i planet? Är planet rörbart? Jag förstår att det är väldigt användbart att finna en tredje punkt men jag förstår inte hur detta skall göras. Ur vilken ekvation skall x lösas ut? Menar du ur ekvationen som jag fått fram på normalform? 

civilingengör skrev:

D4NIEL skrev:

1) Vi kan alltså lägga åtminstone en del av vektorn U i planet. Om vi dessutom får veta att U är parallell med planet måste således hela U ligga i planet.

2) Du kan hitta en tredje genom att t e.x. låta y=z=0 och lösa ut x ur din ekvation för planet.

1) Men kan det inte vara så att U är mycket större än planet och således inte kan användas?

2) Hur gör man detta? Hur kan vi veta att koordinaterna y=0 och z=0 finns med i planet? Är planet rörbart? Jag förstår att det är väldigt användbart att finna en tredje punkt men jag förstår inte hur detta skall göras. Ur vilken ekvation skall x lösas ut? Menar du ur ekvationen som jag fått fram på normalform? 

1. Ett matematiskt plan har alltid en oändlig utbredning per definition. Du kan alltså inte skapa en vektor som är så lång att den "inte får plats".

2. Ja, ur ekvationen som du fått fram på normalform. Alla kombinationer av x,y,z och som uppfyller planets ekvation ligger i planet.

Kan du alltså hitta en punkkt $(x,y,z)$ som uppfyller $x-4y-3z=7$ har du hittat en punkt i planet.

Eftersom vi har en ekvation och tre obekanta har vi två frihetsgrader (det är det som återspeglas i att vi behöver två parametrar för att beskriva planet på parameterform).

För enkelhets skull sätter vi $y=z=0$ och då måste $x=7$

Alltså är $(7,0,0)$ en punkt i planet!

Vi hade lika gärna kunna söka en lösning för $x=y=3\implies z=-\frac{16}{3}$ men det hade inte blivit lika enkelt att räkna i huvudet.

Ett tredje sätt att lösa uppgiften när du redan har planets normalekvation är att ansätta

$y=s$ och $z=t$

Då ger planets normalekvation $x=7+4s+3t$

Alltså kan vi beskriva planet enligt

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$

Tack så mycket! 

Hur fick du fram den sista lösningen? Du gör en direkt omvandling från normalform till parameterform men vad är det som sker egentligen, hur får du fram (0,1,0) och (0,0,1)? Och om planet är oändligt stort, hur kan det finnas en linje som är parallell med planet, måste den då alltid befinna sig i planet?

Om vi sätter $y=s$ och $z=t$ har vi ju de enkla ekvationerna

$x-4s-3t-7=0$  (Planets ekvation)

$y=s$

$z=t$

Lägger vi ihop dem som en enda vektor blir det

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7+4s+3t\\s\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$

Är du med?

Angående det oändliga planet så kan det fortfarande vara så att en linje ligger ovanför eller under planet. Eller skär planet i någon punkt. Eller ligger helt i planet.  Du måste alltså skilja mellan en linje (som ligger fast i rummet) och en vektor (som du kan placera var du vill).

Det finns en speciell sorts "vektor" som alltid utgår från origo, den kallas lägesvektorn eller ortsvektorn. Den får du inte flytta.

Tack så mycket, men jag förstår dock inte vart vektorerna  (0,1,0) och (0,0,1) kommer ifrån? Du använder normalens vektor som en av tre vektorer för att skriva om ekvationen på parameterform, men varför kan man göra det? 

Föresten måste alltid riktningsvektorerna som används vid ekvationsskrivning på parameterform utgå från samma punkt?

civilingengör skrev:

Tack så mycket, men jag förstår dock inte vart vektorerna  (0,1,0) och (0,0,1) kommer ifrån? Du använder normalens vektor som en av tre vektorer för att skriva om ekvationen på parameterform, men varför kan man göra det? 

Jag tror det blir enklare för dig om du skriver $s$ och gör en parentes och sedan börjar fundera på vad det ska stå på platserna i vektorn för att varje rad ska bli rätt. I den första raden ska vi t.ex. ha $4s$, alltså måste vi ha en 4 på första raden i vektorn.

Föresten måste alltid riktningsvektorerna som används vid ekvationsskrivning på parameterform utgå från samma punkt?

Neeeeej. En vektor utgår inte från en punkt. Den har bara två  egenskaper.

1) en längd

2) en riktning

Ingen punkt att utgå från. Ett objekt som har en utgångspunkt är inte längre en ren matematisk vektor.

Tack så mycket! Jag ska klura på detta med normalform omvandlat till parameteromvandling lite till. Har du bra tips på någon hemsida eller resurs som förklarar detta?

Det jag menade med om vektorer måste utgå från samma punkt var om de två riktningsvektorerna som används för att beskriven ekvation på parameterform i ett plan måste ha samma "utgångskälla" dvs svansen i samma punkt (dock att punkten kan vara reglerbar).

Tack så mycket för hjälpen!

civilingengör skrev:

Tack så mycket! Jag ska klura på detta med normalform omvandlat till parameteromvandling lite till. Har du bra tips på någon hemsida eller resurs som förklarar detta?

Jag har inga särskilda resurser på lager, men den första kursen i linjär algebra bygger mycket på att man kan skapa sig enkla tredimensionella bilder över vad som faktiskt händer. Mitt råd är därför att du räknar fler uppgifter och att du ALLTID gör en skiss över situationen. I början är det kanske lite ovant, men ganska snabbt blir man en fena på det.

I just fallet med olika sätt att uttrycka alla punkter som bildar ett plan handlar det om att förstå hur vi ska sätta upp eller beskriva punktmängden som bildar planet.

Det jag menade med om vektorer måste utgå från samma punkt var om de två riktningsvektorerna som används för att beskriven ekvation på parameterform i ett plan måste ha samma "utgångskälla" dvs svansen i samma punkt (dock att punkten kan vara reglerbar).

Planet på parameterform innehåller alltid en punkt (även om punkten är origo och därmed inte "syns") samt två vektorer med parametrar framför.

Det är punkten som är "utgångskällan" och parametrarna beskriver hur långt i varje vektorriktning vi ska gå från punkten. Med ekvationen

$\mathbf{p}=\mathbf{p}_0+s\mathbf{u}+t\mathbf{v}$

Kan du alltså tänka dig att du ställer dig i punkten $\mathbf{p}_0$. Sedan går du $s$ steg riktning $\mathbf{u}$ och slutligen $t$ steg i riktning $\mathbf{v}$. Steglängden avgörs av hur lång respektive vektor är.

Men det är inte så att det finns någon inneboende information i vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ om vilken punkt de utgår från.

Tack så väldigt mycket för din tid och hjälp!