Linjär algebra - Ortonormerad bas
Jag fattar att vektorer utgör en ortonormerad bas om de har längden 1 och är parvis ortogonala. Om u*v = 0 sägs u och v vara ortogonala. u*v = |u||v|cos[u,v].
Jag kan se att vektorerna har längden ett genom att ta roten ur summan av koordinaternas kvadrater.
Men om jag ska räkna till exempel e1*e2 då stöter jag på följande problem:
e1 * e2 = 1 * 1 * cos(e1, e2) = cos(e1, e2)
Frågan är alltså, hur räknar jag cos(e1, e2) egentligen?
Räkna ut skalarprodukten av e1 och e2:
e1*e2 = e1xe2x + e1ye2y + e1ze2z = 0, så cos(e1,e2) = 0.
Tusen tackar!
Uppgiften verkar felaktigt formulerad, det borde nog antas att e1,e2,e3 är en ON-bas för att det ska gälla. Ett lätt motexempel är att låta e1 vara väldigt lång och e2,e3 vara korta. Då blir den första vektorn i den nya basen också lång (och speciellt så är den inte av längd 1).
Tack för bra hjälp. Jag har lite andra frågor:
Gäller det alltid att e1*e2 = e1xe2x + e1ye2y + e1ze2z ?
Ja. Det är den algebraiska definitionen av skalärprodukten: https://sv.wikipedia.org/wiki/Skal%C3%A4rprodukt#Algebraisk_definition
Nej, det gäller endast om koordinaterna är angivna i en ON-bas. Arbetar du i standardbasen så är det alltså ok, men om koordinaterna är angivna i en okänd (ej nödvändigtvis ON) bas så fungerar det kanske inte.
