Linjär Algebra, ortogonala komplementet

Hej!

problem med följande uppgift

Har gjort såhär. Började med ett element z som jag utvecklade enligt nedan. Vet dock inte hur jag ska fortsätta. Är exempelvis ${U_{1}}^{⊥}, {U_{2}}^{⊥} \subset {(U_{1} + U_{2})}^{⊥}$ ? i så fall är väl z antingen i ${U^{⊥}}_{1}$ eller ${U^{⊥}}_{2}$ ? För då måste den ena eller andra skalären vara noll och för att likheten ska uppfyllas måste därmed båda skalärerna vara noll vilket påvisar ${(U_{1} + U_{2})}^{⊥} = {U^{⊥}}_{1} \cap {U_{2}}^{⊥}$ ?

Jag är osäker om jag angriper problemet på rätt sätt. Finns det något bättre sätt och behöver jag vara tydligare (mer rigorös) i min lösning?

Du börjar bra. Antag att z ligger i (U1 + U2)^$⊥$. z är då ortogonal mot varje vektor i (U1 + U2). Eftersom U1 är en delmängd av (U1+U2) så är z ortogonal mot varje vektor i U1, dvs z ligger i U1^$⊥$. På samma sätt inser vi att z ligger i U2^$⊥$. Således ligger z både i U1^$⊥$ och U2^$⊥$. Dvs vi har att ${(U 1 + U 2)}^{⊥} \subset U 1^{⊥} \cap U 2^{⊥}$ .

Sedan får man visa att $U 1^{⊥} \cap U 2^{⊥} \subset {(U 1 + U 2)}^{⊥}$ med liknande metodik.

Låt oss tänka i tre dimensioner. Låt U1 vara "x-axeln" och U2 vara "y-axeln". U1 + U2 är då xy-planet och dess komplement är z-axeln. Ligger alla vektorer i U1^$⊥$ på z-axeln? Svar nej, det blir ju yz-planet och det innehåller vektorer utanför z-axeln.

Jag tror jag förstår. Så då är ${(U_{1} + U_{2})}^{⊥} \subset {U^{⊥}}_{1}$ (eller $\subset {U_{2}}^{⊥}$ ). Då z är ortogonal mot alla vektorer i U1 och U2 (U1+U2). Jag tänker nog fel först som du kanske kan se hur jag ritade vektorer för u1 + u2. Jag tänkte först att U1+U2 skapar ett nytt rum men det är bara att rummet blir större och därmed fler vektorer som måste vara ortogonala till z vilket gör det ortogonala rummet mindre (eller lika)?

Så för U1⊥∩U2⊥ ⊂ (U1+U2)⊥. Om jag antar att w tillhör U1⊥ och U2⊥. så innebär det att <z,u1>=<z,u2>=0 =>

<z,u1> - <z,u2> = 0 =-<z,u1+u2>= => 0 =<z,u1+u2>

Precis, om man ökar dimensionen på ett underrum så minskar dimensionen på komplementet.

Precis, om en vektor är ortogonal mot alla vektorer i U1 och U2 så är den även ortogonal mot varje vektor i U1+U2, pga av att skalärprodukten är distributiv.

Tack! :)

Svara

Visa senaste svar