Linjär algebra och spegling i form av linjär transformation
Hej!
Ska lösa följande uppgift:
Vektorerna b1=[5;4] och b2=[−4;5] bildar en bas för R^2. Låt L vara linjen genom origo parallell med b1 och låt transformationen T vara speglingen i linjen L.
(a) Bestäm matrisen för T i basen B={b1,b2}.
Jag vet hur man tar fram matrisen T i standardbasen (genom att projicera godtycklig vektor (x1;x2) på normalen och subtrahera denna vektor gånger två från Identitetsmatrisen. Hur omvandlar jag nu denna till att vara uttryckt i basen B? Jag hade lite tankar kring att invertera basbytesmatrisen från B till standardbasen som ju ges direkt av [b1 b2], men får inte ihop det. Någon som har lite tips? Tack!
Matrisen i basen B blir enklare än i standardbasen.
Vad blir avbildningarna av b1 respektive b2?
I basen B är sedan b1 = [1;0] och b2 = [0;1].
Du kan även gå via matrisen i standardbasen och sedan transformera den på "vanligt" sätt med basbytesmatriser.
Dr. G skrev:Matrisen i basen B blir enklare än i standardbasen.
Vad blir avbildningarna av b1 respektive b2?
I basen B är sedan b1 = [1;0] och b2 = [0;1].
Du kan även gå via matrisen i standardbasen och sedan transformera den på "vanligt" sätt med basbytesmatriser.
Det är genom den andra metoden du nämner som jag försökt mig på, men får inte ihop det med basbytesmatrisen. Jag tänker att P(B->E) är [b1 b2] och att jag sedan tar inversen av detta och multiplicerar med transformationsmatrisen jag fått fram i standardbasen. Vet inte om jag tänker rätt för det blir fel..
Det går med
men jag tror inte att det är meningen att du ska göra så i den här uppgiften, då matrisen i bas B är lättare att ta fram direkt än matrisen i standardbasen, samt att du slipper två matrismultiplikationer och en inversberäkning.
Dr. G skrev:Det går med
men jag tror inte att det är meningen att du ska göra så i den här uppgiften, då matrisen i bas B är lättare att ta fram direkt än matrisen i standardbasen, samt att du slipper två matrismultiplikationer och en inversberäkning.
Vad står P för i detta fallet? Och varför är det inte bara att multiplicera transformationsmatrisen direkt med en basbytesmatris, på samma sätt som en koordinattransformation?
Och om man skulle göra på det andra sättet, hur gör jag för att ta fram den direkt i basen b?
Har du läst om egenvärden och egenvektorer?
Dr. G skrev:Har du läst om egenvärden och egenvektorer?
Japp! Står P för som det brukar göra då, egenvektorerna? Jag förstår bara inte kopplingen till egenvärdena och egenvektorerna i detta fallet och hur det skiljer sig från koordinattransformationer.
Ser du att både b1 och b2 är egenvektorer till avbildningen? Vilka är egenvärdena?
Dr. G skrev:Ser du att både b1 och b2 är egenvektorer till avbildningen? Vilka är egenvärdena?
Nej, det hänger jag inte riktigt med på..
Ser du att b2 är normal till linjen? Den kommer då att "flippas", d.v.s avbildas på vektorn
A*b2 = -b2
eftersom att det är en spegling. b2 är då en egenvektor till A med egenvärde -1.
b1 som ligger i linjen kommer att avbildas på sig själv:
A*b1 = b1
Rita figur och fråga gärna vidare.
