Linjär algebra - "Nul A och Col A"

Är det hur man beräknar baserna för dessa du undrar över?

Precis! Gärna steg för steg så jag har någon möjlighet att förstå detta :) I boken framgår det verligen inte på något vettigt sätt... 

Jag antar att de gått igenom hur du ska lösa ekvationer av typen

$\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$

Om du kan lösa denna typ av ekvationer så är det exakt det man gör när man beräknar Nul A. Du kommer få att lösningarna är en linjärkombination av några vektorer, det är dessa vektorer som utgör basen för Nul A.

För att beräkna basen till Col A så kollar du vilka kolumner som har pivot element i echelon formen. Du kollar upp dessa kolumner i ursprungliga matrisen och tar dessa kolumner som bas till Col A. Så i bilden du har tagit så har du pivot element i kolumn 1, 3, 4. Därför är basen till col A

$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-6\\ 5\\ 9\\ 14\end{array}\right]\right\}$

Stokastisk skrev :

Jag antar att de gått igenom hur du ska lösa ekvationer av typen

$\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$

Om du kan lösa denna typ av ekvationer så är det exakt det man gör när man beräknar Nul A. Du kommer få att lösningarna är en linjärkombination av några vektorer, det är dessa vektorer som utgör basen för Nul A.

För att beräkna basen till Col A så kollar du vilka kolumner som har pivot element i echelon formen. Du kollar upp dessa kolumner i ursprungliga matrisen och tar dessa kolumner som bas till Col A. Så i bilden du har tagit så har du pivot element i kolumn 1, 3, 4. Därför är basen till col A

$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-6\\ 5\\ 9\\ 14\end{array}\right]\right\}$

Okej, Col A tror jag att jag är med på. Men jag vet nog inte hur jag beräknar Ax=0? Kan du förklara det? 

Okej, men då kollar du på den matris i echelon formen och tänk på det som ett ekvationssystem. Om du kollar på tredje raden så står det då att

$5x_4 = 0$

Så vi vet att $x_4 = 0$. Sedan den andra raden säger att

$5x_3 - 7x_4 = 0$, vilket kan förenklas till

$5x_3 = 0$

Så även $x_3 = 0$. Den första raden säger däremot att

$x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 0$

Vilket vi kan förenkla till

$x_1 + 3x_2 = 0$

Denna har inte en unik lösning så vi inför en parameter, t, och säger att $x_2 = t$ vilket sen leder oss till att

$x_1 = -3x_2 = -3t$

Så lösningen till $Ax = 0$ är

$x_1 = -3t, x_2 = t, x_3 = 0, x_4 = 0$

Eller uttryckt som en vektor, lösningarna är

$\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]t$

Så här är alltså vektorn (-3, 1, 0, 0) basen till nollrummet.

Stokastisk skrev :

Okej, men då kollar du på den matris i echelon formen och tänk på det som ett ekvationssystem. Om du kollar på tredje raden så står det då att

$5x_4 = 0$

Så vi vet att $x_4 = 0$. Sedan den andra raden säger att

$5x_3 - 7x_4 = 0$, vilket kan förenklas till

$5x_3 = 0$

Så även $x_3 = 0$. Den första raden säger däremot att

$x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 0$

Vilket vi kan förenkla till

$x_1 + 3x_2 = 0$

Denna har inte en unik lösning så vi inför en parameter, t, och säger att $x_2 = t$ vilket sen leder oss till att

$x_1 = -3x_2 = -3t$

Så lösningen till $Ax = 0$ är

$x_1 = -3t, x_2 = t, x_3 = 0, x_4 = 0$

Eller uttryckt som en vektor, lösningarna är

$\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]t$

Så här är alltså vektorn (-3, 1, 0, 0) basen till nollrummet.

Tack!! Nu förstår jag :) 

Men om det kommer en sån här uppgift, hur ska man göra då för att ta reda på nulA ? 

Det underlättar man man fortsätter reducera det lite till. Addera andra raden till första raden, sedan dividerar du rad 2 med 5, så du får kvar

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Att man adderar andra raden till första är för att det ska bli noll rakt ovanför pivotelementet på rad 2. Sedan kollar du igen, andra raden motsvarar

$x_3 + x_5 = 0$

Så då inför vi en parameter, t, och låter $x_5 = t$ vilket ger att $x_3 = -t$. Då får vi första raden till

$x_1 + 2x_2 + x_4 + x_5 = 0$

Här kommer vi behöva införa två ytterligare parametrar, s och r och låter $x_4 = s$ och $x_2 = r$. Då har vi att

$x_1 = -2x_2 - x_4 - x_5 = -2r - s - t$

Därför har vi lösningarna

$\left[\begin{array}{c}-2r-s-t\\ r\\ 0\\ s\\ t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]r+\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]s+\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]t$

Så här ser vi att vektorerna (-2, 1, 0, 0, 0), (-1, 0, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 0, 1) utgör en bas för nollrummet.

Såklart! Tusentack :)