Linjär algebra : när är det lämplig med minsta kvadrat metoden?

Jag vill påstå att det är en lösning du har hittat, och jag skulle ange den med koordinater, (2,3,4), för två linjer kan bara skära varandra i högst en punkt (om de inte är samma linje).

Vad hade du velat få om de inte skar varandra? Närmaste avståndet mellan dem? Skulle du få det med minsta kvadratmetoden? (På rak arm vet jag inte svaret på det.)

Nu fick du fler frågor än svar, men någon annan kan säkert säga mer.

Det finns bara en exakt lösning för denna fråga, så det måste vara den enda lösning.

Jag hade velat få en inkonsistent system om dem inte skär varandra.

Varför vill du använda minsta-kvadratmetoden?

Det enklaste är väl bara att ställa upp följande ekvationssystem:

$\begin{bmatrix}t+1\\t+2\\t+3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s+3\\2s+5\\3s+7\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}t-s\\t-2s\\t-3s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}t\\s\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\1&-2\\1&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}$

och sedan lösa med Gausseliminering?

Om nu linjerna inte skär varandra syns det tydligt när du Gausseliminerar. Poängen med minsta-kvadratmetoden är ju just att man skall kunna finna en lösning som gör att systemet nästan löses när det inte finns en riktig lösning, alltså bör du inte använda den om du inte vill ha en "nästan-lösning" när systemet saknar en riktig lösning.

Jo, jag vet att det behövs inte, men jag undrade vad skulle hända om jag använder mista kvadratmetoden för en system som inte har några lösningar alternativ inga exakta lösningar.

Minsta-kvadratmetoden minimerar något men exakt vad kan variera beroende på hur du ställer up kvadratuttrycket. 

Om du skulle använda minsta-kvadratmetoden på det för mig naturligaste viset så skulle du hitta de två punkterna på linjerna som är så nära varandra som möjligt. Tänk dig en väg på en överfart som vinkelrätt korsar över en annan väg under den. De två vägarna ("linjerna") korsar inte varandra på riktigt så finns ingen skärningspunkt men paret av två punkter på vardera vägar som är så nära varandra som möjligt är punkten på vägen som går under precis där den går under och en punkt på överfareten som är precis ovanför och bör vara de som faller ut av metoden. 

Om linjerna däremot är parallella så borde minstakvadratmetoden få problem då det inte finns något unikt par av punkter som minimerar avståndet och är lite osäkrare på hur det ser ut algebraiskt. 

Ok,. så minsta kvadratmetod kommer bara att visa när det inte finns några lösningar.