Linjär algebra- N(F) & N(G)

Hej!

Jag har fastnat på en uppgift som handlar om nollrum och värderum. Bifogar uppgiften nedan:

Jag har tagit fram nollrummen och får N(F) = [(0, -1, 1, 0), (1, -2, 0, 1)] och N(G) = [(-2, 0, 1, 0), (3, -3, 0, 1)].

Sedan fastnar jag på att ta fram de vektorer som tillhör både N(F) och N(G), alltså N(F) $\cap$ N(G).

Min första tanke var att de vektorer som tillhör båda nollrummen uppfyller:

$\{\begin{cases} - x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{4} = 0 \\ - 2 x_{1} + x_{3} = = \\ 3 x_{1} - 3 x_{2} + x_{4} = 0 \end{cases}$ , men mitt svar stämmer inte överens med facit.

Sedan på b) vet jag hur jag hittar V(F) och V(G), men har samma problem med hur jag ska få fram V(F) $\cap$ V(G).

Uppskattar all hjälp jag kan få, tack på förhand!

Vi söker vektor v där $v \in N (F) \cap N (G)$ . Alltså ska v kunna skrivas som en linjärkombination av vektorerna i båda nollrummen, eftersom dessa vektorer spänner upp N_F och N_G:
$v = a (0, - 1, 1, 0) + b (1, - 2, 0, 1), v = c (- 2, 0, 1, 0) + d (3, - 3, 0, 1)$

Sätt v = v sen v-v = 0 och lös ekationssystemet för koefficienterna a,b,c,d!

Okej, när jag gör så får jag c=d, så får inte fram vad koefficienterna är eller vad a& b är!

Ska man ha samma tillvägagångssätt för värderummen?

Du borde ju få v-v = $(\begin{matrix} 0 \\ - a \\ a \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} b \\ - 2 b \\ 0 \\ b \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 c \\ 0 \\ c \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 d \\ - 3 d \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ = 0 vilket ger ekvationssystemet $\{\begin{cases} \begin{matrix} b & + 2 c & + 3 d \end{matrix} = 0 \\ \begin{matrix} - a - 2 b + 3 d \end{matrix} = 0 \\ \begin{matrix} a & + & c \end{matrix} = 0 \\ b - d = 0 \end{cases}$

vi behöver bara kolla på första och två sista för att se att a = b = d = c

Om vi testar för ngt godtyckligt a, säg a = 1, så får vi vektorn (1,-3,1,1) för linjärkombination av vektorerna i N_F då a = b = 1. Testar vi samma sak för dina två vektorer i N_G för c = d = 1 får vi samma vektor. Så därför borde svaret vara v = t(1,-3,1,1) för att få alla vektorer v som ligger i båda dessa rum.

Blir dock lite osäker eftersom andra ekvationen i ekvationssystemet ger att a = 0. Någon annan får gärna komma in och säga ngt om detta.

$[\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}]$ = $t [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}]$ , $t \in ℝ$ .

Tillägg: 17 aug 2023 21:56

Fast det stämmer inte med första ekvationen, ser jag nu. Men då är väl a = b = c = d = 0 den enda lösningen. Så nollvektorn är den enda gemensamma vektorn i de två underrummen. Eller? Vad säger facit?

Facit säger (1, -3, 1, 1) för nollrummen och (7, 13, 18) för värderummen!

OK, ser nu att ekvationssystemet var slarvigt uppställt. Borde väl bli

b + 2c - 3d = 0

-a - 2b + 3d = 0

a - c = 0

b - d = 0

Vilket ger a = b = c = d. Så systemet blir uppfyll då alla variabler har samma värde, som vi kan kalla t.

Så v = t(0, -1, 1, 0) + t(1, -2, 0, 1) = t(1, -3, 1, 1).

Så snittet av nollrummen är det underrum som spänns upp av vektorn (1, -3, 1, 1). Vilket stämmer med facit.

Ja, sedan får du göra på samma sätt för bildrummen.

Svara

Visa senaste svar