Linjär algebra: Minsta kvadratmetoden

Hej!

Jag har kört fast och skulle vara tacksam om någon kunde hjälpa mig med nedanstående uppgift:

Vad menas med en lösning i minsta kvadrat mening till de inkonsistenta ekvationerna 2x=5 och x=4?

Jag har försökt lösa denna uppgift med hjälp av formeln $x = {(A^{T} A)}^{- 1} A^{T} b = A^{T} b$ men svaret jag får är inte $x = \frac{14}{5}$ .

Jag har gjort om så att $\{\begin{cases} 2 x + 0 = 5 \\ x + 0 = 4 \end{cases}$

$A = [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] och A^{T} = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}], b = [\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}]$

$A^{T} A = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ $\Rightarrow {(A^{T} A)}^{- 1} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}]$

$A^{T} b = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 14 \\ 0 \end{matrix}]$

${(A^{T} A)}^{- 1} A^{T} b = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} 14 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]$

Hur ska jag tänka och gå tillväga för att komma fram till rätt svar?

Du behöver inte lägga till nollorna i VL, eftersom du endast ska anpassa en variabel (x). Det ger dig matrisen $A = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}]$ . Då får du:

$A^{T} A = [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}] = [5] A^{T} b = [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}] = [14]$

Stort tack!! :)

Jag har däremot en följdfråga bara. Det jag fortfarande inte förstår är varför det är ett divisionstecken så att $x = \frac{14}{5}$ , i facit. Kan man svara på två olika sätt, dels som du gjort och sen som i facit? Jag är rätt förvirrad för jag vet inte vart divisionstecknet kommer ifrån.

Om vi gör om den ekvation som $A^TAx=A^Tb$ ger oss, får vi ekvationen $5x=14$ . Därav divisionen med fem. :)

Ahh, då förstår jag!

Tack för snabbt svar och för all hjälp! :)

I den lösningsgång som du presenterar har du räknat ut fel invers till A^tA. Rätt invers är att det inte finns någon invers! Det ska det dock göra, så här borde det ringt en varningsklocka ;)

Svara

Visa senaste svar