Linjär algebra. Matriser och spänna upp

Vill kontrollera att vektorerna spänner upp $R^{4}$ . Om vektorerna spänner upp $R^{4}$ finns det för varje y en uppsättning av a,b,c,d (eller unik uppsättning?) som uppfyller

$a_{1} (1, 0, 0, 0) + b (0, 1, 0, 0) + c (0, 0, 1, 0) + d (0, 0, 0, 1) + e (0, 0, 1, 1) = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4})$ .

Jag råkar se att de spänner upp R för att de 4 första vektorerna är linjärt oberoende men jag vill lösa detta algebraiskt utan att ta bort några vektorer.

Matris:

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{matrix}] = [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{matrix}]$

Eller också

$\begin{array}{rcl} y_{1} & = & a \\ y_{2} & = & b \end{array} \begin{array}{rc} y_{3} & = & c + e \\ y_{4} & = & d + e \end{array}$

Om vi antar att y=(1,2,3,4) (som är en vektor i $R^{4}$ ) fås inte unik uppsättning av a,b,c,d,e

$\begin{array}{rcl} 1 & = & a \\ 2 & = & b \end{array} \begin{array}{rc} 3 & = & c + e \\ 4 & = & d + e \end{array}$

Om systemet parametiseras (e=t) fås

$\begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ b & = & 2 \end{array} \begin{array}{rc} c & = & 3 - t \\ d & = & 4 - t \end{array} e = t$

Ska en vektor y verkligen ge en unik uppsättning av a,b,c,d,e för att spänna upp $R^{4}$ ?

De första fyra vektorerna bildar en bas för det 4-dimensionella rummet, precis som du skriver. Det innebär att den femte vektorn kan uttryckas som en linjärkombination av de fyra första. Detta innebär i sin tur att du inte får en unik uppsättning (a, b, c, d, e) utan det finns många lösningar till din matrisekvation.

Om du vill "lösa problemet algebraiskt", som du uttrycker det, kan du till exempel räkna ut koefficienterna när du uttrycker den femte vektorn som en linjärkombination av de fyra första.

Ingemar

Förstår inte. Löser jag den får jag lösning med en parameter 't' och inte en unik lösning utan en mängd av lösningar som kan beskrvias som en linje i $R^{4}$ .

Kan jag dra slutsatsen att lösningen inte behöver vara unik för att vektorerna ska spänna upp vektorn $y$ i $R^{4}$ ?

Någon?

Precis, lösningen behöver inte vara unik för att de ska spänna upp rummet, den behöver bara finnas för varje val av y. Om lösningen är unik så säger man att vektorerna utgör en bas för rummet.

Om vi har 4 linjärt oberoende vektorer ( endast den triviala lösningen existerar för ett homogent system) i R^4 måste väl de således bli en bas. Nu spänner de upp R^4 då dessa är en bas. Nu har vi en unik uppsättning av a,b,c,d för varje y. Stämmer det?

Jajemän. Lägger du däremot till den femte vektorn från din uppgift så spänner de fortfarande R^4, men är inte linjärt oberoende och utgör därför inte en bas.

Tack

Svara

Visa senaste svar