linjär algebra matris, inverterbar?

Det är en utmärkt idé att beräkna determinanten. 

Välkommen till Pluggakuten!

Matrisen saknar invers precis då matrisens kolonner är linjärt beroende. Det gäller att undersöka om det finns tre tal (kalla dem $x$, $y$ och $z$) sådana att linjärkombinationen

    $\displaystyle xv_2 + yv_3 + zv_4$

är lika med kolonnen $v_1$; symbolen $v_n$ betecknar kolonn nummer $n$ hos matrisen.

Albiki

Hej!

Vektorekvationen

    $\displaystyle xv_2+yv_3+zv_4 = v_1$

är samma sak som ett linjärt ekvationssystem.

    $\displaystyle \left\{ \begin{matrix}1 &= -x+y-z\\2 &=-x+y-2z\\5 &=-2x+3y-6z\\ k &=2x-4y+10z\end{matrix}\right.$

Albiki

Hej!

Om du bildar (Ekvation 2) - (Ekvation 1) så får du ekvationen $2-1 = (-2z) - (-z)$, vilken är samma sak som att $z = -1$. Sätter du in detta i (Ekvation 1) så får du ekvationen $y - x = 0$. Om du sätter $y$ till $x$ och $z$ till $-1$ i Ekvation 3 så får du en ekvation som talet $x$ ska uppfylla.

    $\displaystyle 5 = -2x + 3x + 6,$

vilket betyder att $x = -1$.

Vi har antagit att kolonnen $v_1$ kan uttryckas som en linjärkombination av de övriga kolonnerna. Beräkningarna visar att den enda möjligheten är den specifika linjärkombinationen $(-1)v_2+(-1)v_3+(-1)v_4$. Om vi beräknar denna linjärkombination så får vi vektorn 

    $\displaystyle \left(\begin{matrix}1\\2\\5\\-8\end{matrix}\right)$.

Vårt antagande är att denna vektor är lika med kolonnvektorn $v_1$. Du ser att vårt antagande stämmer om $k = -8$. Om parametern $k$ är något annat tal än $-8$ så är det omöjligt att uttrycka $v_1$ som en linjärkombination av $v_2$ och $v_3$ och $v_4$.

Albiki