Linjär algebra, matris-ekvationssytem.

Uppgiften: 

Lös ekvationssystemet

$\left\{\begin{array}{l}AX + Y = A\\ X + AY = A + I\end{array}\right.$

Där X och Y är obekanta 3x3-matriser och I är enhetsmatrisen av typ 3x3. 

Mitt försök:

Jag kan lösa uppgiften, jag har försökt med att definiera X med 9 element $x_n$där n = 1, ... , 9 och motsvarande för Y, men detta sätt kräver att jag löser 18 ekvationer med 18 okända, de funkar me jag tror inte att detta är sättet författaren vill att man ska lösa uppgiften på. 

I facit står det följande: 

$X = I - {(A^2 - I)}^{-1} A = \frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 3& 0& 0\end{array}\right), Y = {(A^2-I)}^{-1} A^2=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 6& 0& 0\end{array}\right).$

Jag har ingen aning om hur han får fram de här. Jag har försökt att förenkla ekvationssystemet till 

AX +Y = X +AY -I  => (A-I)X - (A+I)Y + I = 0 

Men det finns en $A^2$term, så min första tanke är att (A-I) * (A+I) = A^2 - I, men det är ett minus tecken mellan de termerna och de obekanta kan inte faktoriseras, plus om jag ska söka på internet matris ekvationssystem det kommer bara upp hur man löser vanliga ekvationssystem med matriser.

Kan någon visa mig hur man förenklar detta så att man slipper lösa 18 ekvationer. 

Tack i förväg :) 

Mvh.