Linjär algebra: lösning till ekvationssystem

Hej! Jag förstår inte hur facit kommer fram till de vektorerna som de gör baserat på RREF-matrisen. Själv hade jag nog hellre valt att lösa $a_1\vec u_1 + ... + a_n\vec u_n - b_1 \vec v_1 - ... - b_n \vec v_n = \vec 0$ för att då blir det klarare för mig vad saker och ting är.

Jag förstår inte hur de kan gå från den radreducerade trappstegsmatrisen till en bas för nollrummet. Skulle någon kunna hjälpa mig se vad det är de har gjort?

Jag förstår att de har någon slutgilltig ekvation

$a_1 \vec u_1 = -\vec v_2 + \vec v_3$ , $a_2 \vec u_2 = -\vec v_2 - \vec v_3$ , $a_3 \vec u_3 = \vec v_2$ . Väljer de bara en godtycklig vektor som uppfyller detta?

Beakta ekvationen

$a_1 \vec{u}_1+\ldots+a_n \vec{u}_n+b_1 \vec{v}_1+\ldots+b_n \vec{v}_n=\overrightarrow{0}.$

Denna ekvation är snarlik den du hellre vill lösa, fast vi har inte uttryckligen satt ut minus på $b_{i}$ ännu.

Att ställa upp matrisen

$A =\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \vec{u}_{3} & \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{bmatrix}$

och lösa nollrummet till $A$ är just att lösa ekvationssystemet ovan, dvs

$\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \vec{u}_{3} & \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1} \\\vdots \\a_{3} \\b_{1} \\\vdots \\b_{3}\end{bmatrix}=\vec{0}.$

För att förstå hur man finner nollrummet från trappstegsformen, beakta att

$\operatorname{null} A = \operatorname{null}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1\end{bmatrix}\quad\sim\quad\begin{bmatrix}a_{1}-b_{2}+b_{3} \\a_{2}-b_{2}-b_{3} \\a_{3}+b_{2} \\b_{1}+2b_{2}+b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\0 \\0 \\0\end{bmatrix}$

Beakta att $b_{2}$ och $b_{3}$ är fria variabler. Om du låter dem löpa fritt med parametrar $s, t$ , kan du se hur vi får fram en bas till nollrummet?

Svara