Linjär algebra, lösning på parameterform underbestämt system

Hej!

Jag har en snabb fråga gällande lösningen till detta ekvationssystem:

$\left\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\ x-y+2z=6 \end{array}\right.$som efter elimination ger ekvationssystemet $\left\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\ -y +z =1\end{array}\right.$

Min fråga är följande.

Jag inser snabbt att systemet har oändligt många lösningar. Jag väljer att ansätta $$\begin{gathered} y=t, t\in \mathrm{ℝ} \\ \Rightarrow z = 1+t \\ \Rightarrow x=4-t \\ alltså är (x,y,z) =(4-t,t,1+t) \end{gathered}$$

Men samma uppgift löses i min lärobok genom att ansätta att z = t, vilket resulterar i andra värden på x och y. Men lösningsmängden måste väl ändå vara densamma, helt oberoende av om jag sätter z=t eller y=t? Eller hur? Min lösning är väl precis lika korrekt som den som fås med ansättning att z=t?

Tacksam för svar!

Mvh