Linjär algebra - Linje

Skärningslinje  mellan två plan. 

Kan du bestämma linjens riktningsvektor?

Jag får $L: \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-57}{21}-t\\ y=\frac{23}{7}-t\\ z= 7t\end{array}\right.$

Och skall nu ta reda på en riktningsvektor från Linjen startpunkt (känd) till en okänd punkt $O$ som utgör mittpunkten för en sträcka mellan två kända punkter $P=\left(1,1,2\right) \& R=\left(3,1,4\right)$

Jag vet inte hur jag ska komma fram till punkten $O$, jag kan ta fram sträckan från ex punkten $P\to O=\frac{\sqrt{8}}{2}$,

Jag vet inte hur jag ska gå vidare.

Jag får punkt på linjen till $(65/7,23/7,0)$ f. ö . samma som du.

Mittpunkten: $O:(2,1,3)$

Hur kommer du fram till mittpunkten?

Skickar med denna bild  (I fig. är O origo, M mittpunkt)

Jag provade att räkna om linjens parameterform, dock verkar jag få lite olika ekvationer för var gång som jag försöker. Finns det något speciellt tillvägagångssätt när man tar fram parameterformen?

Jag försöker ju först få trappstegsformen genom att få bort $x$i ekvation 2 i ekvationssystemet, därefter är det ju klart att det finns färre ekvationer än variabler vilket implicerar att vi måste inför ett godtycklig parameter för $z$.

Då har jag: $\left\{\begin{array}{l}3x+4y+z=5\\ 7y-z=23-z \\ 0=0 \Rightarrow oändligt många lösningar \to z=7t \end{array}\right.$

Därefter försöker jag att få vardera variabel för sig självt. 

Jag gjorde så här:

Skärningslinjens riktningsvektor v:

$\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2$

Jag kryssar planens normalvektorer

Punkt på linjen ligger i bägge planen. Jag fixerar en koordinat , säg z=0.

Det ger ett ekv system med två ekv, och två obekanta.  Lös ut x och y. Klart!

Vi har ett ekvationssystem med 3 okända och 2 ekvationer:

$\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -1 & 0 & -6 \\3 & 4 & 1 & 5 \end{array} \right ]$

Som första och enda radoperation tar vi -3 av rad 1 och lägger till rad 2.

$\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -1 & 0 & -6 \\0 & 7 & 1 & 23 \end{array} \right ]$

Vi ser att z är en fri variabel, låt z=t, detta ger

$y=\frac{23-t}{7},\quad x=-6+\frac{23-t}{7}$

Vi skalar upp riktningsvektorn med 7 och väljer en punkt med heltalskomponenter på linjen:

$[x,y,z]=t[-1,-1,7]+[0,6,-19]$

1PLUS2 skrev:

Jag får $L: \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-57}{21}-t\\ y=\frac{23}{7}-t\\ z= 7t\end{array}\right.$

Det här är alltså en korrekt linje.

Punkten (65/7,23/7,0)  uppfyller däremot inte ekvationerna.

m