Linjär Algebra: Linjärt Beroende

a, b, c är godtyckliga vektorer.

Visa att vektorerna: a + 3b -c, a + 4b -c och a + b - 4c är linjärt beroende.

Dina vektorer är inte linjärt beroende för godtyckliga vektorer $a,b,c$, något är fel i uppgiftsformuleringen, kanske har man glömt någon begränsning, t.ex. $a,b,c\in \mathbb{R}^2$?

Och så till din tankemodell; du måste utöka din modell för linjärt oberoende till tre eller helst n fingrar.

I en samling med 3 vektorer kan varje par (1,2), (1,3), (2,3) vara linjärt oberoende samtidigt som summan av 2 av vektorer bildar den tredje så länge dimensionen är större än eller lika med 3.

I två dimensioner kan det av naturliga skäl inte finnas fler än två linjärt oberoende vektorer i en samling, i tre dimensioner finns det max 3 linjärt oberoende vektorer i varje tänkbar samling osv.

Det maximala antalet linjärt oberoende vektorer är rummets dimension.

Det man ska visa är att vektorerna är Linjärt Beroende. i 3D

Ja min tankemodell var bara för visa att jag har någon koll på begreppen Oberoende kontra Beroende.

Antalet Fingrar 2 i 2D

3 Fingrar i 3D  ger: Oberoende om fingrarna inte ligger i samma plan.

10 Fingrar i 10,onde Dimensionen. Om ekva 9 och ekva 10 är likadana så har vi en 9D rymd i 10D rymden. Det tolkar jag som att vi har ett Linjärt Beroende.

Du kan inte visa att vektorerna: $\mathbf{v}_1=\mathbf{a} + 3\mathbf{b} -\mathbf{c},\, \mathbf{v}_2= \mathbf{a} + 4\mathbf{b} -\mathbf{c},\, \mathbf{v}_3=\mathbf{a} + \mathbf{b} - 4\mathbf{c}$ är linjärt beroende för godtyckliga vektorer $\mathbf{a,b,c}$ eftersom de för vissa val av a,b,c är linjärt oberoende.

Definition: Vektorerna $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n$ kalls linjärt beroende om det finns reella tal $a_1,a_2,\dots, a_n$ , inte alla 0, så att

$a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+\dots+a_n\mathbf{v}_n=0$

I ditt fall har vi ekvationen

$a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+a_3\mathbf{v}_3=0$

$a_1(\mathbf{a} + 3\mathbf{b} -\mathbf{c})+a_2(\mathbf{a} + 4\mathbf{b} -\mathbf{c})+a_3(\mathbf{a} + \mathbf{b} - 4\mathbf{c})=0$

Denna ekvation ska vara uppfylld för godtyckligt val av vektorerna a,b,c.

Det innebär att vi kan ställa upp en ekvation för varje vektor:

a: $a_1+a_2+a_3=0$

b: $3a_1+4a_2+a_3=0$

c: $-a_1-a_2-4a_3=0$

Det visar sig att det homogena ekvationssystemet är entydigt bestämt och har lösningen $a_1=a_2=a_3=0$, vilket betyder att vektorerna $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$ inte nödvändigtvis är linjärt beroende, tvärtom kommer de för vissa val av a,b,c vara linjärt oberoende.