Linjär algebra: linjära avbildningar

Hej!

Om du har gjort a) och b) så har du antagligen hittat $S$ och $R$, så då kan du helt enkelt multiplicera ihop dom och kolla ($S\circ R = \left[S\right]\left[R\right]$).

På c) kan du visa att AB $\ne$ BA, dvs genomför båda matrismultiplikationerna och notera att de inte blir de samma.

Du kan även titta på vilken effekten blir om du opererar på ${\overrightarrow{v}}_1$. Med $R\circ S$ så speglar du först och roterar sedan. Med $S\circ R$så roterar du först och speglar sedan. Med det första alternativet blir nettoeffekten att ${\overrightarrow{v}}_1$ roteras 45 grader moturs. Med det andra alternativet blir nettoeffekten att ${\overrightarrow{v}}_1$ roteras 45 grader medurs.

På d) så är det en fördel om man noterar att A² = I (enhetsmatrisen), eftersom om man speglar en vektor för att därefter spegla igen så får man tillbaka den vektor som man startade med, speglingen är en så kallad involution. Notera även att rotera 45 grader 8 gånger i rad motsvarar en rotation med 360 grader, vilket också gör att man får tillbaka den vektor man startade med, dvs B⁸ = I.

PATENTERAMERA skrev:

På c) kan du visa att AB $\ne$ BA, dvs genomför båda matrismultiplikationerna och visa notera att de inte blir de samma.

Du kan även titta på vilken effekten blir om du opererar på ${\overrightarrow{v}}_1$. Med $R\circ S$ så speglar du först och roterar sedan. Med $S\circ R$så roterar du först och speglar sedan. Med det första alternativet blir nettoeffekten att ${\overrightarrow{v}}_1$ roteras 45 grader moturs. Med det andra alternativet blir nettoeffekten att ${\overrightarrow{v}}_1$ roteras 45 grader medurs.

På d) så är det en fördel om man noterar att A² = I (enhetsmatrisen), eftersom om man speglar en vektor för att därefter spegla igen så får man tillbaka den vektor som man startade med, speglingen är en så kallad involution. Notera även att rotera 45 grader 8 gånger i rad motsvarar en rotation med 360 grader, vilket också gör att man får tillbaka den vektor man startade med, dvs B⁸ = I.

Å tack så mycket!! Men på 1d) Du skrev att B⁸ = I, eftersom 45 grader * 8 = 360 grader. Nu står det ju B^-5, blir det då 45 grader * -5 = -225 grader? Vad gör man då? Då kommer man ju inte tillbaka till det man startade med, eller?

A²B^-5 = IB^-5 = B⁸B^-5 = B³ = rotation med 3 x 45$°$ = 135$°$ moturs.

Tack!!!