Linjär algebra: Linjära avbildning (bild inte på basform)

Hej! Jag skulle behöva hjälp med uppgiften ovan. Jag har delat upp uttrycken i vänsterled med lineartsegenskaperna så det det blir F(e₁)+F(e₂)+F(e₃) osv med de under. Jag försökte få F(e₁) och de andra ensamma via att lösa ut dem som i ett ekvationssystem, men svaret stämmer inte vid kontroll och när jag mejla min lösning till lärarna sade hon bara att det inte alls var något ekvationssystem jag hade med att göra och sade bara att jag skulle använda lineartsegenskaperna (vilket jag redan gjort??). Så nu är jag helt lost i hur jag ska få värdet på F(e₁), F(e₂) och F(e₃).

Tycker din lösning låter vettig. Kan du visa hur du gjort så kan vi kanske se var det gått fel.

Du kan visst beskriva problemet som ett slags ekvationssystem.

Ekvationerna kan mha matriser skrivas som

$[\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} F ({\vec{e}}_{1}) \\ F ({\vec{e}}_{2}) \\ F ({\vec{e}}_{3}) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 1 & - 3 \\ - 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} \\ {\vec{e}}_{2} \\ {\vec{e}}_{3} \end{matrix}]$ .

Vilket ger

$[\begin{matrix} F ({\vec{e}}_{1}) \\ F ({\vec{e}}_{2}) \\ F ({\vec{e}}_{3}) \end{matrix}] = {[\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}]}^{- 1} [\begin{matrix} 2 & 1 & - 3 \\ - 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} \\ {\vec{e}}_{2} \\ {\vec{e}}_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 & 2 & - 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} \\ {\vec{e}}_{2} \\ {\vec{e}}_{3} \end{matrix}]$ .

Därmed blir avbildningen F:s matris [F] enligt

$[F] = [\begin{matrix} 4 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 7 & 2 & 1 \end{matrix}]$ .

Svara