Linjär Algebra, linjär avbildningsmatris

Hej!

Gör som du är van vid, dvs. avbildningsmatrisen ges av matrisen av avbildningarna av dina basvektorer. Det är enkelt att uttrycka avbildningen av basvektorerna i den här basen. 

Exempelvis, vad händer då $\hat{e}_3$ speglas i planet $\pi$?

Menar du att jag alltså speglar vardera basvektor separat och sedan sätter samman dem tre till en avbildningsmatris? Facits förklaring är för mig obegriplig: 

Ja precis, glöm standardbasen, där är allt så krångligt. Om vi istället har den givna basen som består av två vektorer som ligger i planet, och en vektor ortogonal mot planet så blir allting lättare. För att hitta avbildningsmatrisen så vill vi hitta avbildningen av alla basvektorer, det behöver inte vara standardbas vektorerna, du får själv välja basen. 

För att komma tillbaka till min tidigare fråga, vad händer då normalen till planet $\pi$ speglas i planet $\pi$? Jo, den hamnar ju bara på "andra sidan", den byter riktning. Dvs. om avbildningen ges av $F$ så gäller att $F\left(\hat{e}_3\right)=-\hat{e}_3$, eller hur?

På samma sätt, vad händer då vi speglar vektorer som redan ligger i planet?

Detta förtydligade en hel del. Får jag välja själv att två av vektorerna ska ligga i planet och att den sista är ortogonal mot planet? Och hur vet jag att vektorerna ligger i planet? Om man ritar upp ett plan med just normalen (2, 2, 1) så är den ju inte parallell med någon axel x, y eller z, vilket borde göra det svårt att veta om en vektor ligger i planet?

Hur vet vi att det just är vektorn (0, 0, 1) som speglas?

civilingengör skrev:

Detta förtydligade en hel del. Får jag välja själv att två av vektorerna ska ligga i planet och att den sista är ortogonal mot planet? Och hur vet jag att vektorerna ligger i planet? Om man ritar upp ett plan med just normalen (2, 2, 1) så är den ju inte parallell med någon axel x, y eller z, vilket borde göra det svårt att veta om en vektor ligger i planet?

Hur vet vi att det just är vektorn (0, 0, 1) som speglas?

Du får välja en bas helt fritt, så du kan inte ta vilka två vektorer i planet som helst - dom måste ju vara linjärt oberoende. Då gäller att dom 3 vektorerna du valt är linjärt oberoende (vilket du bör motivera varför) och bildar alltså en bas för $\mathbb{R}^3$. Du vet att vektorerna ligger i planet om vektorerna uppfyller planets ekvation. 

Sen verkar det vara ett ganska stort missförstånd din sista fråga. Du måste skilja på en vektor given i standardbasen och en vektor given i din bas. Glöm inte att representationen $\left(0,0,1\right)$ i standardbasen är koordinaterna för vektorn. Det vill säga i standardbasen så gäller exempelvis att vektorn $\vec{w}=\left(1,-2,0\right)=1\cdot \hat{e}_x-2\cdot\hat{e}_y+0\cdot\hat{e}_z$. Om du istället väljer en annan bas, säg som din bas i uppgiften, ja då gäller att vektorn $\vec{w}=\left(1,-2,0\right)=1\cdot\hat{e}_1-2\cdot\hat{e}_2+0\cdot\hat{e}_3$ vilket antagligen inte är samma vektor som $\vec{w}$ i standardbasen. Det är alltså koordinaterna du anger för en vektor, givet en bas.