Linjär Algebra: Linjär avbildning, baser

S byter bas från f till vanliga, S' byter från vanliga till f, och A avbildar en vektor i vanliga basen på det sättet du vill.

Tänk dig nu att du har en vektor i basen f du vill avbilda och gör ett steg i taget. Först vill du översätta den till vanlig bas, sen vill du avbilda och sen byta tillbaka till f innan du svarar, eller hur?

Det du gör är då att du använder S, sen A och till sist S'. Eftersom man brukar ha vektorn längst bak skriver vi det som har hänt bakifrån, S'AS.

Eftersom vi får mulitplicera saker i vilken ordning vi vill (som de står, inte vilket håll vi vill), så kan man såklart sätta ihop dem till en matris istället för att göra det i 3 steg.

Hur beräknar man inversen på en 3x3? Är det $\begin{array}{ccccc}x1& 2x2& x3& =& y1\\ x1& 2x2& 0& =& y2\\ 0& x2& x3& =& y3\end{array} =\begin{array}{ccccc}x1& 2x2& x3& =& y1\\ 0& 0& -x3& =& -y1 +y2\\ 0& x2& x3& =& y3\end{array}$och om det är hur går man vidare? Vet ej hur jag kan bli av med x2 på den 3 raden.

Använder Gausselimination: $x1x2=y2-x1-x2-x3=-y100-x3=-y1+y2$

Byt plats på rad 2 och 3

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccccc}x1& 2x2& x3& =& y1\\ 0& x2& x3& =& y3\\ 0& 0& -x3& =& -y1+y2\end{array}=\begin{array}{ccccc}x1& 2x2& 0& =& y2\\ 0& x2& 0& =& -y1+y2+y3\\ 0& 0& -x3& =& -y1+y2\end{array}= \\ =\begin{array}{ccccc}x1& 0& 0& =& 2y1-y2+y3\\ 0& x2& 0& =& -y1+y2+y3\\ 0& 0& -x3& =& -y1+y2+0\end{array} =\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 1& 1\\ -1& 1& 0\end{array}Men vad jag ser från svaret ska det bli \\ \begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& 0\end{array}. \end{gathered}$$
Sedan ska man Multiplicera ihop de tre?$\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ -2& 1& 0\end{array}*\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 1& 0& 2\\ -2& -2& 1\end{array}*\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}=\begin{array}{ccc}2& -4& -2\\ -1& 0& 0\\ 0& -2& 0\end{array}=\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}$

Ja. Du kan multiplicera ihop S och S' för att kolla om du har räknat rätt