Linjär algebra - Linjär avbildning, ange matris
Låt F : R^3 - > R^3 vara en linjär avbildning. Vi säger att x avbildas på y, om y = F(x).
Ange matrisen för F om:
1) Vektorn (1,-2,1) avbilda på nollvektorn
2) Vektorerna (1,0,-1) och (0,1,0 avbildas på sig själva.
Har suttit med denna i 4 timmar nu och vet inte ens vart jag ska börja och vad som försiggår.
Hjälp hade uppskattats!
Titta på 2), där har du två egenvektorer. Eftersom de avbildas på sig själva har de även egenvärde ett. Hur blir då diagonaliseringen av matrisen?
Smutstvätt skrev:Titta på 2), där har du två egenvektorer. Eftersom de avbildas på sig själva har de även egenvärde ett. Hur blir då diagonaliseringen av matrisen?
Blir väl en 3x3 matris med 1:or i diagonalen och resterande siffror är noll?
Avbildningen är linjär. Du vet att
F(1,-2,1) = (0,0,0)
F(1,0,-1) = (1,0,-1)
F(0,1,0) = (0,1,0)
Ta fram avbildningarna F(1,0,0) och F(0,0,1) genom att använda linjäriteten, d.v.s
F(c1*x1 + c2*x2) = c1*F(x1) + c2*F(x2)
för alla vektorer x1 och x2 i R^3 och alla skalärer c1 och c2.
Dr. G skrev:Avbildningen är linjär. Du vet att
F(1,-2,1) = (0,0,0)
F(1,0,-1) = (1,0,-1)
F(0,1,0) = (0,1,0)
Ta fram avbildningarna F(1,0,0) och F(0,0,1) genom att använda linjäriteten, d.v.s
F(c1*x1 + c2*x2) = c1*F(x1) + c2*F(x2)
för alla vektorer x1 och x2 i R^3 och alla skalärer c1 och c2.
Måste ha missat detta. Hur gör man det där?
Är du med på att det står i frågeställningen att
F(1,-2,1) = (0,0,0)
F(1,0,-1) = (1,0,-1)
F(0,1,0) = (0,1,0)
?
Bilda basvektorerna (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1) som linjärkombinationer av vektorerna med kända avbildningar; (1,-2,1), (1,0,-1) och (0,1,0). (Den sista var ju själv en basvektor.)
T.ex är
(2,0,0) = (1,-2,1) + (1,0,-1) + 2*(0,1,0)
Halvera för (1,0,0) och ta på liknande sätt fram (0,0,1).
Sedan får du fundera på vad som är "linjärt" i en linjär avbildning.
