Linjär Algebra kvadratisk medelfel (KTH Uppgift)
Hej, jag har missat några föreläsningar i linjär algebra denna vecka, och märkte att jag förstår inte stegen som lösningsförslag använder vid fråga b) på uppgiften. Jag har löst och fattat a) delen.
fattar inte vart b*=AX och följande samband kommer ifrån. Uppskattar all hjälp.
I detta fall har vi en matris A med 4 rader och 2 kolonner. Bildrummet till A, im(A), är då ett underrum till R4 som kan ha som mest dimension 2. I detta fall är dimensionen 2, eftersom kolonnerna är linjärt oberoende.
Ekvationen Ax = b kan ha en lösning endast i det fall att b ligger i im(A). Om detta inte är fallet kan vi försöka hitta det element b* i im(A) som ligger närmast b - dvs ”bästa”approximation.
Om b* är den närmaste vektorn så gäller det att skillnadsvektorn d = b - b* är ortogonal mot im(A). Jämför med den punkt på en linje som ligger närmast en given punkt.
Eftersom b* ligger i im(A) så finns det en vektor x* sådan att b* = Ax*.
Vi har nu
b = Ax* + d.
Vi multiplicerar båda led me AT och utnyttjar att d är ortogonal mot im(A) (ATd = 0)
ATb = ATAx*.
Genom att lösa ekvationen ovan kan vi hitta ett värde på x* sådant att Ax* = b*. Det kan finnas flera lösningar x* men om kolonnerna hos A är linjärt oberoende så gäller det att ATA är en inverterbar matris och lösningen är unik.
På b) så beräknar man det kvadratiska medelfelet enligt |b* - b|/2. Jag antar att detta bara är tillämpningen av någon definition, så det finns kanske inte så mycket att förstå.
