Linjär algebra - kvadratisk form på matrisform
Hur gör man på 9a?
Det är ganska rakt på, du har
Så får man matrisen
Varför delar du - 2 med 2?
Det lättaste sättet är nog bara att testa vad som händer, vi har att
Så japp det stämmer att det blir en matris för den kvadratiska formen.
Generellt gäller det att
Så vi vill välja b och c så att de summeras till , att låta gör så att matrisen blir symmetrisk vilket gör att det blir trevligare att jobba med på grund av spektralsatsen.
Okej, då är jag med på det!
Jag har fortsatt upg och fick fram egenvärdena som skulle vara. Men egenvektorerna förstår jag inte varför de ska 1/rotenur 2 innan? Jag får nämligen fram samma tills dess..
De har normaliserat vektorerna, detta eftersom man då bevara längder och basbytesmatrisen bara motsvara en rotation. Det blir då så att man bara behöver skriva den kvadratiska formen
Där och är egenvärdena.
Nu hänger jag inte med.. hur får jag 1/roten ur 2 ur det du skrev?
Ja du har att (1, 1) är en egenvektor, normaliserar vi den egenvektorn så är ju normen på den
så normaliserad är den
eftersom den då har normen 1. Samma med den andra egenvektorn.
Okej, är det något man måste göra alltså?
Ja, om är basbytesmatrisen och den är ortonormal så gäller det att . Så du har att
Där A är den kvadratiska formen. Så om man gör variabelbytet
Så får man då
Om P inte är ortonormal så gäller det inte att vilket gör att detta blir lite annorlunda.