Linjär algebra - kvadratisk form på matrisform

Det är ganska rakt på, du har

$\mathbf{3}{x}^2-\mathbf{2}xy+\mathbf{3}{y}^2$

Så får man matrisen

$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{3}& \frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{2}\\ \frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{2}& \mathbf{3}\end{array}\right]$

Varför delar du - 2 med 2?

Det lättaste sättet är nog bara att testa vad som händer, vi har att

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3x-y\\ -x+3y\end{array}\right] \\ =3x^2-xy-xy+3y^2=3x^2-2xy+3y^2 \end{gathered}$$

Så japp det stämmer att det blir en matris för den kvadratiska formen.

Generellt gäller det att

$\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=a{x}^2+(b+c)xy+d{y}^2$

Så vi vill välja b och c så att de summeras till $-2$, att låta $b = c$ gör så att matrisen blir symmetrisk vilket gör att det blir trevligare att jobba med på grund av spektralsatsen.

Okej, då är jag med på det!

Jag har fortsatt upg och fick fram egenvärdena som skulle vara. Men egenvektorerna förstår jag inte varför de ska 1/rotenur 2 innan? Jag får nämligen fram samma tills dess.. 

De har normaliserat vektorerna, detta eftersom man då bevara längder och basbytesmatrisen bara motsvara en rotation. Det blir då så att man bara behöver skriva den kvadratiska formen

$\lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2$

Där $\lambda_1$ och $\lambda_2$ är egenvärdena.

Nu hänger jag inte med.. hur får jag 1/roten ur 2 ur det du skrev? 

Ja du har att (1, 1) är en egenvektor, normaliserar vi den egenvektorn så är ju normen på den

$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

så normaliserad är den

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

eftersom den då har normen 1. Samma med den andra egenvektorn.

Okej, är det något man måste göra alltså? 

Ja, om $P$ är basbytesmatrisen och den är ortonormal så gäller det att $P^t P = I$. Så du har att

$A = PDP^t$

Där A är den kvadratiska formen. Så om man gör variabelbytet

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{x}}=P\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{u}}$

Så får man då

${\mathit{x}}^t\mathit{A}\mathit{x}={\mathit{x}}^t\mathit{P}\mathit{A}{\mathit{P}}^t\mathit{x}=(\mathit{P}\mathit{u}{)}^t\mathit{P}\mathit{D}{\mathit{P}}^{\mathbf{t}}\mathit{P}\mathit{u} ={\mathit{u}}^t({\mathit{P}}^{\mathbf{t}}\mathit{P}\left)\mathit{D}\right({\mathit{P}}^{\mathbf{t}}\mathit{P})\mathit{u}={\mathit{u}}^t\mathit{D}\mathit{u}$

Om P inte är ortonormal så gäller det inte att $P^t P = I$ vilket gör att detta blir lite annorlunda.