Linjär algebra, koordinatsystem - fel tänk, rätt svar

thedifference skrev:

Bestäm tyngdpunktens koordinater för en triangel med hörn i punkterna (1, 2, -1), (2, 1, 0) och (-1, 1, 1).

Tyngdpunkten ligger på 2/3 av avståndet mellan ett hörn och motstående sidas mittpunkt. (2, 1, 0) och (-1, 1, 1) har mittpunkt (0.5, 1, 0.5).

Koordinaterna för sidans mittpunkt tar du lämpligen fram med mittpunktsformeln, som du lärde dig i Ma2 på gymnasiet, fast nu behöver du använda den i tre dimensioner. Det är helt enkelt så att mittpunktens x-koordinat är medelvärdet av x-koordinaterna för de båda ändpunkterna, och likadant för y-koordinatee och z-koordinaten för mittpunkten.

Här kommer min första huvudbry: Jag skrev att avståndet från (1, 2, -1) till (0.5, 1, 0.5) är (0.5, 1, -1.5), vilket jag kom fram till genom att helt enkelt subtrahera de andra koordinaterna från de första. Men detta känns fel av två anledningar: Ett avstånd är aldrig negativt, och (0.5, 1, -1.5) känns ju bara som en uppsättning koordinater och inte ett uttryck för ett avstånd. Borde jag tänka detta som en vektor?

Nej, ett avstånd är ett (icke-negativt) tal, inte en vektor med tre komponnter. Du beräknar längden av en sida (d v s avståndet mellan två punkter) med avståndsformeln, som du lärde dig i Ma2 (och som bara är Pythagoras sats i förklädnad), fast även här får du använda den i 3D.

Sen beräknade jag (1, 2, -1) -(2/3)(0.5, 1, -1.5) och fick rätt svar (2/3, 4/3, 0). Nu i efterhand kan jag inte förstå vad det här ska uttrycka. Hörnet, minus 2/3 av avståndet till motstående sidas mittpunkt är tyngdpunkten? Det borde ju vara plus.

Har du ritat upp triangeln så att du kan använda din skiss för att visualisera var tyngdpunkten hamnar? Tyngdpunkten skall ju ligga inuti triangeln, inte utanför.

Ett annat sätt att tänka är att räkna med vektorer hela vägen. Det kan vara en bra övning för att vänja sig vid vektorer. 

Kalla triangelns hörn för A, B och C. Jag använder fetstil för att jag ser punkterna som vektorer. Alltså A är vektorn från origo till ena hörnet av triangeln. Då är vektorn c=A-B en vektor med samma riktning som sidan mellan hörnen A och B. Du har då t.ex att A=B+c. Mittpunkten på sidan mellan A och B är då vektorn c_M=B+(1/2)c. På samma sätt kan du ta fram de andra mittpunkterna och tyngdpunkten.