Linjär algebra, linjära transformationer i R[t]

Kolla på vad avbildningen gör med basvektorerna.

Avbildningsmatrisen består av koordinater för basvektorernas bilder, d.v.s.

$A=(\begin{array}{ccc}\vdots&\vdots&\vdots\\L(1)&L(t)&L(t^2)\\\vdots&\vdots&\vdots\end{array})$

• $L(1) = 1t^2 + 1t + 1$, då $p(0)=p(1)=p(2)=1$ när $p=1$
  
  
• $L(t)=0t^2+1t+2$, då $p(0)=0$ och $p(1)=1$ och $p(2)=2$ när $p=t$
  
  
• $L(t^2) = 0t^2 + 1t + 4$, då $p(0)=0^2=0$ och $p(1)=1^2=1$ och $p(2)=2^2 = 4$ när $p=t^2$.

Det återstår att samla koefficienterna/koordinaterna ovan i en avbildningsmatris.

LuMa07 skrev:

Kolla på vad avbildningen gör med basvektorerna.

Avbildningsmatrisen består av koordinater för basvektorernas bilder, d.v.s.

$A=(\begin{array}{ccc}\vdots&\vdots&\vdots\\L(1)&L(t)&L(t^2)\\\vdots&\vdots&\vdots\end{array})$

 

• $L(1) = 1t^2 + 1t + 1$, då $p(0)=p(1)=p(2)=1$ när $p=1$
  
  
• $L(t)=0t^2+1t+2$, då $p(0)=0$ och $p(1)=1$ och $p(2)=2$ när $p=t$
  
  
• $L(t^2) = 0t^2 + 1t + 4$, då $p(0)=0^2=0$ och $p(1)=1^2=1$ och $p(2)=2^2 = 4$ när $p=t^2$.

 

Det återstår att samla koefficienterna/koordinaterna ovan i en avbildningsmatris.

Tack, men vart fick du L(1), L(t), L(t^2) ifrån? 
Jag tänkte såhär:
$p(t)=at^2+bt+c => p(0)=c, p(1)=a+b+c, p(2)=4a+2b+c$
Och sedan:
$p(0)t^2=ct^2 , p(1)t=t(a+b+c), p(2)=4a+2b+c$
Och sedan tar det slut.

Basen är ju utskriven som {1, t, t²}.

MrPotatohead skrev:

Basen är ju utskriven som {1, t, t²}.

Det säger mig tyvärr inte jättemycket. :/

Jag tror mitt problem är att jag i det här fallet inte alls ser hur polynomet $p(t)=at^2+bt+c$ spelar någon roll i ekvationerna. Förstår hur $p(0), p(1), p(2)$ kan ge matrisen, men inte självaste beräkningarna eller varför de inte utgår ifrån något polynom som Lp påstår i uppgiften.

katal skrev:

LuMa07 skrev:...

Tack, men vart fick du L(1), L(t), L(t^2) ifrån? 
Jag tänkte såhär:
$p(t)=at^2+bt+c => p(0)=c, p(1)=a+b+c, p(2)=4a+2b+c$
Och sedan:
$p(0)t^2=ct^2 , p(1)t=t(a+b+c), p(2)=4a+2b+c$
Och sedan tar det slut.

Givet $p(t) = at^2 + bt + c$, så kan man utnyttja linjäritet och få att $L(p) = L(at^2 + bt + c) = a L(t^2) + bL(t) + cL(1)$, vilket är varför man undersöker vad $L$ gör när basvektorerna angivna i uppgiften, d.v.s. $p(t) = t^2$ resp. $p(t)=t$ resp. $p(t)=1$, stoppas in i $L$.

Alternativt så kan man utnyttja allt du skrivit för att ta fram avbildningsmatrisen. Enligt uppgiften är

$L(p) = p(0) t^2 + p(1) t + p(2) = c t^2 + (a+b+c)t + 4a + 2b + c$

och nu får man gruppera om termerna genom att bryta ut $a$, respektive $b$, respektive $c$:

$L(p)=a(t+4)+b(t+2)+c(t^2+t+1)=a\underbrace{(0t^2+1t+4)}_{L(t^2)}+b\underbrace{(0t^2+1t+2)}_{L(t)}+c\underbrace{(1t^2+1t+1)}_{L(1)}$.

Eftersom basvektorerna skrivits i ordningen $\{1, t, t^2\}$ så får man avläsa koefficienterna hos 1, sedan t och sedan t^2 för att ta fram avbildningsmatrisen

$A=(\begin{array}{ccc}1&2&4\\1&1&1\\1&0&0\end{array})$

LuMa07 skrev:

katal skrev:

Visa föregående citat

LuMa07 skrev:...

Tack, men vart fick du L(1), L(t), L(t^2) ifrån? 
Jag tänkte såhär:
$p(t)=at^2+bt+c => p(0)=c, p(1)=a+b+c, p(2)=4a+2b+c$
Och sedan:
$p(0)t^2=ct^2 , p(1)t=t(a+b+c), p(2)=4a+2b+c$
Och sedan tar det slut.

Givet $p(t) = at^2 + bt + c$, så kan man utnyttja linjäritet och få att $L(p) = L(at^2 + bt + c) = a L(t^2) + bL(t) + cL(1)$, vilket är varför man undersöker vad $L$ gör när basvektorerna angivna i uppgiften, d.v.s. $p(t) = t^2$ resp. $p(t)=t$ resp. $p(t)=1$, stoppas in i $L$.

Alternativt så kan man utnyttja allt du skrivit för att ta fram avbildningsmatrisen. Enligt uppgiften är

$L(p) = p(0) t^2 + p(1) t + p(2) = c t^2 + (a+b+c)t + 4a + 2b + c$

och nu får man gruppera om termerna genom att bryta ut $a$, respektive $b$, respektive $c$:

$L(p)=a(t+4)+b(t+2)+c(t^2+t+1)=a\underbrace{(0t^2+1t+4)}_{L(t^2)}+b\underbrace{(0t^2+1t+2)}_{L(t)}+c\underbrace{(1t^2+1t+1)}_{L(1)}$.

Eftersom basvektorerna skrivits i ordningen $\{1, t, t^2\}$ så får man avläsa koefficienterna hos 1, sedan t och sedan t^2 för att ta fram avbildningsmatrisen

$A=(\begin{array}{ccc}1&2&4\\1&1&1\\1&0&0\end{array})$

åå, tack så mycket! Nu känner jag mig mycket klokare på det hela! :)